QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE II. 8l

sidéré comme la réciproque du théorème démontré tout à l'heure.

Théorème II. — Supposons que Von ait intégré les équations canoniques

dq^ ^ dp, tff dt dp^ dt dq^

^k d/^ dpk __ df dt ~ dpk dt "" dqk

qui ne sont autres que celles du moui^enient; désignons par j3i, /3j,. . ., Pa les valeurs de pi, pi,.--» pk et par «i, «j,..., a* celles de q^^ ^jv) ^* pour « = r ; exprimons pxj pt,..., p^^ q^^ ^sv) 9* ^^ fonction de t et de «!,.••? ocj, j3i,..., JS* au moyen des intégrales des équatioTis (i) ', sltibstituons ces valeurs de p^, Pîv> 9i> ^j,... dans V intégrale

(2) S= I (p,^+p,^^+...+pt^^-/]dt;

remplaçons enfin, dans S, /es constantes jSj, j3j,... par iei/r^ valeurs exprimées en fonction de ^i, ^j,.., «i, a,,.,., t, au moyen des intégrales de (i).

1° O/i aura

dS dS

2° S 5era u^ie solution de Inéquation aux différences partielles

</S ^S dS

y^, J^a dqk

i^ Faisons varier les |3 et les a, nous aurons^ en dési- IL 6

St, TB.A1TÉ DE XÉCAKIQirE BÀTIOBBELLE.

gnant par i une di^îerentielle prise dans cette hypothèse,

ou bien, ôtant les termes qui se détruisent et ayant égard aux formules (i),

Si l'on intègre par parties, on trouve

on en conclut

dS dS

a^ Différenlions l'équation (n) par rapport à t, nous aurons, en observant que S est fonction de t^ q^, ^t,.*«> ^« seulement, les ^ ayant été exprimés en fonction de ces variables ,

dSdq, dSdq, df df

dt ) dqi dt dq-x dt dp^ dp^

Si Ton remplace dans cette formule p par sa valeur —

déduite (3), et — par sa valeur ^ déduite des équations canoniques (i), il vient, réductions faites,

C*) Les équations (3) ne sont autre chose que les intég;rales des équations (i).