QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE II

(y) désignant ce que devient f quand on y remplace p

par -— . Le théorème se trouve donc démontré. * dq

II résulte de là que, pour trouver une solution complète de l'équation (4)5 îl suffit d'intégrer les équations (i) et d'ajouter une constante arbitraire à Tintégrale (2), qui contient déjà les A: constantes a^, <Xt,..., a;t. Or la forme (4) est une forme que Ton peut assigner à toute équation aux différences partielles du premier ordre qui ne contient pas la fonction inconnue S, il suffit pour cela de la résoudre par rapport à Tune des dérivées de S. On peut, du reste, se dispenser d'effectuer cette résolution. Supposons que L'équation donnée se présente sous la forme

(5) F(;?,, /73,. . ., Pm Çt, ^a, . • ., Çn)= O,

Pif ^8 V désignant, pour abréger, les dérivées de la fonction inconnue S prises par rapport à ^1, ^j,..., ^„. Supposons que l'on résolve Téquation (5) par rapport à p„, ■cette équation prendra la forme

Pn -f-/{/?ij. . 'fPn-i, yi, 72,. . »,qn) = O,

-et cette équation ne diffère pas de (4) *, Pn J représente — et ç„ y représente t\ il s'agit de former -~ et -^> c'està-dire — -^ et j^* La règle des fonctions implicites

va nous fournir ces quantités : en effet, en posant, pour abréger,

dp-^' dq-^' on a

dp dp P/ dq dq ""P„'

84 TRAITÉ DE XÉCA9IQUE RÀTIOlfJIfELLE.

les équations (i) sout alors remplacées par

^' or-QT "pT ~~pz:''

/7„ devant ètreélimÎDé de ces équations au moyen de (5). Ainsi, pour intégrer Téquatiou (5), on formera les équations

, » ^ d*Jt dq„ dpi àp^-i

<'^ p. - p, pt — ~q; ~q::t'

Après avoir éliminé /?„ au moyen de Téquation (5), on intégrera ces formules, et la solution complète de l'équation. (5) sera

'f»/P,p,-^,..-^Pn-iPn-i

n 1 dq.

Cette dernière formule est équivalente à

dS __ dq

coost.

P. Px -H P,/?2-h ... -h PnPn P;

en sorte que l'on pourra se borner à intégrer les équations (7) modifiées comme il suit :

dq^ ^ dqn___^__ ___ ^/^n-i

^ Pn Q. Qn-.

ces équations étant débarrassées, bien entendu, de /?„ au moyen de (5), comme il a été dit. Entre les intégrales on éliminera les p et leurs valeurs initiales, et Téqualion résultante en S, qiy»j Çn sera une solution complète de Téquation (5).

Lorsque Téquation proposée contient la fonction in-