QUATRIEME PARTIE. CHAPITRE II

connue, on peut, en introduisant une variable de plus, la ramener au type examiné plus haut.

En effet, supposons que Tintégrale S soit donnée par Téquation

V(^„ qn^ . ■ , S) =0,

on en déduit

dq^ dqx ' dS

d^ dY dY

dqt dq^' dS

<ît en portant ces valeurs dans l'équation à intégrer, que Ton peut mettre sous la forme

ï^l ^»> <7»»' • • > TT' T~" ' • • • » SI = G,

dS dS dqx dq^

cette équation contiendra les variables S, ^i, 9i,*.m

. ^, . , dY dY dY . . j

et les dérivées -^— ) -7- > « • • > -7^ i mais ne contiendra pas

dq\ dq^ aS

explicitement V, que l'on pourra considérer comme la

fonction inconnue.

Proposons-nous d'inlégt*er, par exemple,

d% dS

—---— = û ou piPi = a ,

aqi «y»

a désignant une constante. Ici on aPt = ^i, Ps = pi, Qi = o, Q, = o. On posei*a donc

dqi dqi dpi dS

on éliminera /7s, et Ton aura

dq^ dq^ dpi dS a /?, o 2 a

86 TRAITÉ DE xéCABIQ€E EÀTIOKKELLE.

Il vient, en intégrant et en désignant par S^ la valeur initiale de S,

a Pi 2a

il ne reste plus qu'à éliminer ^j, on a

V yi — «1 et, par suite,

S = S, -f- 2 ^aq^ [Qx — a, ) .

On a ainsi une intégrale complète de l'équation proposée.

Lorsque l'on connaît une intégrale complète d'une équation aux différences partielles, on en déduit aisément rintégrale la plus générale par la méthode de la variation des constantes. Soit, en effet,

une solution complète d'une équation aux différences

partielles (E), V désignant la fonction, ^i, ^i,. • • i ^n 'es

variables, et ai, a,,. . ., a„ les constantes d'intégration.

dy dV Si de (i) on tire les valeurs de V, — — > -j-^' • • pour les

porter dans (E), cette dernière équation devra être satisfaite, quels que soient Aj, ^s,..., a„, et, par suite, quand on remplacera a,, ^t, . . . par des fonctions de q^^ ^t,. . ., pourvu que, dans les différentiations qui font con*

, dV dY , . ^

naître 3— j -;— ?•••? on laisse «i, ûj,... constants. iJr^

dqx dqi

en supposant ^i, a,, . . . variables, on tire de (i) n équa* tions, dont le type est

dff df d\ ^ dff da

aff a^ a y yry aff aa

dq^lïWHq '^2âdâd^^^'