QUATRIEME PARTIE. CHAPITRE II. Sj

Ces équations se réduiraient à la forme

d<p do dV dq d\ dq

c'est-à-dire seraient identiques à celles qui font connaître -7-» -—,... quand fli, «j,. . . sont constants, si

dq, dq^ ^

Ton déterminait ^i, a^,. . . au moyen des formules

2d^ da ^^ d^ da

auxquelles on peut satisfaire :

i^ En supposant

/ «X dfo dfû

ces équations, au nombre de tî, permettent de déterminer les quantités a^, a^, . • . , a„ en fonction de ^1, ^2, • . . , ^„ ; en portant ces valeurs dans (i), ou si Ton veut, en éliminant iZi, as,... entre (1) et (3), on a encore une solution de (E)^ cette solution est ce que Ton appelle une solution singulière : la solution singulière pourra souvent ne pas exister, c'est ce qui arriverait si les équations (3) étaient incompatibles;

2^ On satisfera encore aux formules (2), en égalant à zéro le déterminant

dût

da^

da, '

dq.

-7— » • • • > dq-,

dqn . . . .

dan

dttn

dan

dqx^

dq2

dqn

Or (voir la Note placée à la fin du volume) la condition 6 =x: o exprime qi^e les fonctions ^i, a^, . . . ne sont pas

distinctes, c'est-à-dire qu'il existe entre elles une ou plusieurs relations. On peut, par exemple, supposer que a., ^f+i) • • • 9 ^n soient fonctions de a^ a^^. . ,^ ^1.1 9 et poser

(4) «i = cTi(«i, flj, . . ., «i-i),. . .;

les équations (2) seront alors de la forme

d^ dox dff doi^i

dût dq dai^x dq

yr\ dfa I dxa dux dzs dai^x\

<^^ ao \dax dq da^^x dq ]

En multipliant la première de ces formules par dq^^ la seconde par dq^^* . ., et en ajoutant, on aura Téquation suivante, qui équivaut aux relations (2)

- — dax -+-...+ — — dtti^x

dUx d/li—\

^^y dta l dxa dxs \

égalant à zéro les coefficients des quantités arbitraires da^^ da^y . . . , il viendra

d<f d<f dxji d^ dxji^i

dox dvji doi dzji^i dax

ces équations au nombre de z — i , jointes aux n — /-f- 1 équations (4)9 feront connaître les quantités ai, ... , a„.i, et en les portant dans (1), on aura une nouvelle intégrale de (E). Je dis que cette intégrale est la plus générale que Ton puisse former, le nombre i restant bien entendu indéterminé.

En effet, soit W une solution quelconque de (E), et y la solution complète. Faisons varier /ij, (z^?* • •? ^n» ^^ déterminons ces quantités au moyen de n formules choi-

quathièmb partie. — chapitre ii. 89

sies parmi les n -hi qui suivent

(5) Vr=W,

... dY dW d\ dW dY dW

dÇi dqt dq^ dq^ dq^ dq^

Ces formules se réduisent évidemment à 71, en vertu de l'équation (E), qui montre que Tune quelconque des

dY dY quantités — > ^ ' • • • 9 V, est déterminée, quand on connaît les autres. De (5) on tire

£/W dY dY da, dY da^

dq dq doi dq da„ dq

c'cst-à-dîre en vertu de (6)

dTYda^ dY da^ __

dai dq ' ' ' dOn dq

Celte formule représente un type d'équations identiques à (2)*, donc quelle que soit la solution W, on ladéduirade la solution complète par les moyens indiqués plus haut. Nous avons donc trouvé la solution la plus générale de(E).