QUATRIEME PARTIE. CHAPITRE II. 9I

On déduit de là

'H __^hiq d^p dp d^q \

idoLj ^d\dt doLidoij dt dandoLj}

^ I dp d dq dq d dp\

^mâ \ doLi dt doLj doLi dt docj I

On aurait trouvé de la même façon

r»H ^^fffq d^p àp d^q ij doLi -mid \ dt don doLj dt dxi dcLj

dp d dq dq d dp dot; dt doLi datj dt doLi

De ces deux équations on tire, en les retranchant l'une de l'autre,

21 dp d dq dq d dp dq d dp dp d dq \ \d(x.j dt doLi dcLi dt da.j doLj dt dan ^«i ^^ ^*/7

OU bien

d yr\ f dq dp dp dq \

dt ^d \ doii daj dcti ^«/ /

c'est-à-dire

ce qui prouve que [a,-, a,] reste constant.

âS6. Théorème de Poisson. ^- «Si «,• et olj égalées à des constantes représentent des intégrales du mouuement^ on aura

( a/, aj) = const.

En efTet^ on a

^ri / doti dotj d^i doij

dq dp dp dq

ga TR4ITÉ DE MÉCANIQUE RÀTIOHKELLE.

Si dans cette formule on fait successivement j = 1, ^, 3,. . ., ^h\ si Ton multiplie la première des équations

ainsi obtenues par -—^^ la seconde par -— ^^ • • •> et si Ton

ajoute, en observant que

dpy^ dp y, doLt dp^ doLt

dp^ dcL^ dp^ dcL^ dp^

dp^ dp^ doLx dp^ ddt

dp^ ddx dp^ dcLi dp^

dp^ dp^ dcti àp^ doi

dq doLi dg doL^ dq

on trouve

doLi ^OLj dq^

On trouverait d'une manière analogue

Multiplions Téquation [i) par ^> l'ëquation (3) par

dn

— -j^t ajoutons-les, puis dans la formule résultante faisons /!x = i, 2, 3,. . ., 2&, et ajoutons les résultats, en \)bservant que l'on a

doLi dcLi dpi doii dqy ( i pour / =y,

ddj dpi daj ' ' ' dqx dctj * * ' j o pour i^y.

On trouve

!(a/, a,)[ay, a,]-t- (a;, a2)[ay, a,] ^ /L y *j j Q pour i^y.

En donnant dans ces formules, à /les valeurs i , 2, 3, .'. • , 2^, on aura 2A équations du premier degré, d'où Ton