QUATRIEME PARTIE. CHAPITRE II. qZ

pourra tirer (a,, «j) (a,-, a,). . .(«,-, «,j) en fonction des quantités [a.-, a,]; ces dernières étant constantes, il en résulte que (âff-, ay) est constant lui-même. c. q. Fa d.

Les deux démonstrations qui précèdent sont de Caucby, qui a établi pour la première fois la relation (4).

Nous verrons plus loin comment on peut faire usage du théorème de Poisson, bornons-nous, pour le moment, à faire observer que si («,-, «y) ne se réduit pas identiquement à une constante ((X,-, Uf) = const. sera une nouvelle intégrale du problème.

yi. — Changement des constantes. — Condition pour

qu'un SYSTEME D^ÉQUATIONS REPRÉSENTE LA SOLUTION d'un PROBLEME DE MÉCANIQUE. ^

257. Supposons qu'aux constantes «i, a,, . . ., iXfi^ on désire substituer de nouvelles constanles (3], jS^,. . . , ^%k liées à celles-ci au moyen d'équations données, on a, par définition (254),

Si, dans cette formule, on remplace -^ et — - par leurs valeurs

• ^ dCLj dcLj

dctj

__ dp dp, ^dp dp,

dp, daj "^ dp, doLj '"'

dq doLj

dq dp, dq dp,

dp, ddj dp, dfXj '"'

on trouve

r ^dp,^(dq dp dp dq\ dp,y^/ \

^"'■'^^'■1- 5^-2-\5â;. 7p,'^d^,dpj^ d^jZ Y")^'

ce que Ton peut écrire

( i) [a„ aj] = [a,, P,]'^,-^^ [<^h ?,] J .+ • • - •

94 TRAITÉ DE MÉCÀiriQUE BÂTIONNELLE.

Dans celle formule, on remplacera [«/, 3i]î [«15 (3f]î«.par leurs valeurs

'■'''• P'^-' rfa,- -ii \^p, dp^ dp^ dp^

c'est-à-dire

et Ton aura ainsi exprimé les [a^» a,] en fonction des La formule (4) du paragraphe précédent,

(a/, a,)[ay, a,] H- (a/, a2)[ay, aj]. • •= |

J o pour i > y, pour 1=7,

montre que le produit des déterminants a et A, dont les éléments sont respectivement les quantités (a,-, «y) et [a^-, ay], est égal à i; on a donc

La formule (1) montre que les déterminants dont les

éléments sont respectivement les quantités [a,-, [3y] et -^

ont pour produit A 5 en désignant alors par C le premier de ces déterminants, on a (*)

(3) A = C HiêliliLlll) ;

(*) Nous employons avec Jacobi la notation ^"'* ^**' pour dési-

gner le déterminant du système des fonctions fi pris 'par rapport aux variables a.