QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE II
en désignant par B le déterminant dont les éléments sont {(3,-, (3,), on aurait de même
en divisant les équations (3) et (4) membre à membre, on a
L'équation (a) donne, en y changeant ol en j3, (6) ^.B = i.
De (a), (5) et (6), on lire
^'' LD(a,,a„...}J
Si l'on suppose (Sj = ^i , Pt = «/ji • • • ? ^k=^k et ^;t+i = pi, . . . j (Sa jt= Pi? le déterminant b se, réduit à l'unité, en observant que ses termes sont de la forme (pi, qj), (piy p/) ou (^., <7y), c'est-à-dire nuls ou égaux à l'unité, et la formule (7) devient
[D(a,, aj,. . .) 'Y
2S8. Ainsi le carré du déterminant des fonctions «j, ûfj,. .., «ji, qu il faut égaler à des constantes pour a^oir les intégrales d*un problème de Dynamique^ est égal au déterminant des quantités (a,-, «y) que Von peut former ai^ec ces fonctions ; il est donc constant pendant toute la durée du mouvement.
J'ai démontré pour la première fois ce théorème dans une Note qui a paru dans les Comptes rendus des séances de r jicadémie des Sciences pour l'année 1866.
258 bis. Remarque. — Les théorèmes que nous venons de démontrer supposent les fonctions cr,- que nous avons considérées, distinctes de H, en sorte que ces théorèmes ne s'appliquent pas à l'intégrale des forces vives; cela ressort du mode de démonstration que nous avons employé. Il est facile de voir, du reste, que
(Jj + („.H)=o.
En effet, soit a = const. une des intégrales du mouvement, on a
dt
Cette équation peut s'écrire
dv. dq dcL dp
(dct\ ^ (du dq di) '^2â\d^ dt ' dp dt
OU bien en vertu des équations du mouvement
dt) '^2d\dh do "~ Sï ■5^) "~^'
dq dp dp dq )
ou enfin
en sorte que, si l'intégrale a. ne contient pas le temps, on a encore
mais settlement dans ce cas.
