VII. — Théorèmes de M. Bertrand

259. Le théorème de Poisson exprimé par la formule (i) (a,-, ay)=consl.

fournira une intégrale nouvelle, si (a,-, a,) ne se réduit pas identiquement à une constante, ou n^est pas une combinaison des intégrales déjà trouvées. Il était important d*exa miner dans quels cas la formule (i) peut fournir une nouvelle intégrale. C'est ce que M. Bertrand a fait. Pour abréger le langage, nous appellerons intégrale ol l'intégrale « = const. Si Ton considère alors les 2 A intégrales a^^ a2,...,ati, ik fonctions quelconques de ces quantités égalées à des constantes seront encore des intégrales. Soient /3|, jS,, • . .^^tk c^s nouvelles intégrales, on aura

\^'^h)-2é\d;;-d^-d^ii};y

c'est-à-dire

*'.M=2[{£$-£$-)iS$H--}

OU bien enfin

260. Théorème P'. — «Si a, et a^ sont deux intégrales telles que (a,-, a^) soit fonction de or,- et deu^, il existera toujours un/s fonction y de ai et «y telle que Von ait

En effet, la foimale (i) donne en remplaçant aj, «s,..., II. 7

gS TEAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

P/» . . . , Pîi par «1, «8, . . . , y, . • • 5 ^n

or sî l'on choisit y de telle sorte que on aura

261. Théorème II. — Quelle que soit l'intégrale a y. il en existe toujours une autre ^, telle que Von ait

en effet, si Ton avait

(a, a,)=iO, (a, a,)=: O,. .., (a, a2*)=:0,

le déterminant des quantités (a^, a,) aurait une colonne dont tous les éléments seraient nuls; il serait donc luimême égal à zéro ; or nous avons vu au paragraphe précédent que ce déterminant était égal au carré du déterminant fonctionnel

D(g|, tta, . • . ) Ctih)

ce déterminant serait identiquement nul, et par suite les fonctions «i, «i» • • • > a^ ne seraient pas distinctes.

262. Théorème III. — Étant donnée Vintégrale a, it en existera toujours une autre (3, telle que («, |3) = i .

En eifet, puisqu'il existe toujours une intégrale qui, combinée avec a, donne un résultat différent de zéro, oapeut poser

(2) (a, ai) = aa, (a, à,) = aj, . . . , (et, a,,) =:a/.

QI]ÀTR1£ME PARTIE, CHAPITRE II. gg

Supposons que otj, «s» • • • > ««-i? représentent toujours de nouvelles intégrales, on finira (puisque le nombre total des intégrales est limité) par tomber sur une intégrale a,-, fonction des précédentes ou constante. Soit alors (3 une fonction de a, a^, «s, • • • ^ «i-iî on aura, en vertu de la formule (i),

(a,p)=:(a,a,)-^ -f-(a,a,) J.-f-...H-(a,ai^,) y-5-,

OU ce qui est la même chose, en vertu des formules (2),

(a, P)=:a2 ~- + • . . + af 3-^5

en posant («, [3)== i, on aura une équation aux différences partielles qui déterminera j3.

263. Théorème IV. — Étant donnée Vintégrale «i, on peut toujours troui^emk — i intégrales «g, ofsî.'-^^si) telles que

(«1, «2)=!, (a„Qf3)=i:o, (fl^, a4)=:0, . . ., (ai,ajit)=0.

En vertu des théorèmes II et III, on trouvera toujours une intégrale aj, telle que ^

(a„ aj)ri=l,

puis i — 2 autres [i — a étant au moins égal à i, car (cci, a^) = o] satisfaisant aux relations

(a,, a3) = o, (ai, a4)=:o,. . ., (a^ a/)=ro.

Supposons, s'il est possible, K^ih^ soit alors ^i une nouvelle intégrale, et

(a., p,) = Pi»

pj sera différent de zéro par hypothèse*, je dis qu'il sera différent de 1 . En effet, sans cela on aurait

(a„ a,— p,)=:(a,, aa) —(a,, p,) = o;

lOO TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

«j — Pi rentrerait dan S la classe des intégrales «8 ï «4i •••»««» ou serait une fonction des intégrales déjà trouvées; |3i ne

constituerait donc pas non plus une intégrale nouvelle.

Mais alors on posera

(«1» Pi) = Pu («!> P0= Pa» • • • »

jusqu'à ce que Ton tombe sur une intégrale (3y fonction des précédentes. En désignant par y une fonction de «i, /3i9 ^i 9 ' ' ' 7 on aura

et eu posant («j, y) = o, on aura une équation qui déterminera y en fonction de a,, jS^, . . . , (3y i. Or y sera une intégrale nouvelle, sans quoi on aurait une relation telle que ^

d'où Ton conclurait, en vertu de l'hypothèse («i, y) = o^

et par suite a^ serait une fonction de a^ «jv**» *«-iî ^^ qui est contre notre hypothèse. On a donc supposé à tort le nombre des intégrales «s, a4,...,«i, limité à / — 2 <^ ak.

M. Bertrand s'est servi de ces théorèraes*dans le cas où le théorème de Poisson ne fournit pas d'intégrale nouvelle •, on peut consulter à ce sujet un Mémoire de ce savant, inséré dans le tome XVII du Journal de Liou- Sfille.

Pour appliquer les théorèmes de M. Bertrand, il faut supposer que l'on connaisse une intégrale ûc; alors, en vertu du théorème IV, on pourra toujours trouver a A — i solutions satisfaisant à l'équation aux différences pariielles linéaires et du premier ordre

(A) {«. P) = o ou I,