VIII. — Théorème de M. Liouville

264. Théorème. — Si Von connaît k intégrales a,, aj,...,a4 satisfaisant aux -^ relations

|(a„ aj)=:0, (a,, agj^o,. . . , («a, a3) = 0, (aj, a^)^ o,. . . , (ai,, a4)= o,

on pourra toujours achev^er V intégration au moyen des quadratures.

En effet, à Faide des k intégrales connues, on pourra

I02 TRAITÉ DE MÉGANIQUR RlTIOlTIfELLE.

calculer les p en fonction des q. En dîiTérentiant alors ces intégrales, par rapport aux y, et en nous servant de la lettre d pour représenter les différentielles prises en regardant ^,, ^«9 • • • 97« comme seules variables, on aura

doii doLi d/?i ^ doLi d/7j

dq^ dp^ dr/^ dp^ dy^

^ ^ ^ d^ ^ d^ d^, ^ -- odq^ dpi àq^ dp^ àq^

dcL '

en multipliant alors la première équation par -— > la se-

dcL '

condc par -r— ^^ en les retranchant l'une de l'autre, puis

en faisant /j^==i, 2,..., h^ en ajoutant les relations ainsi obtenues et en ayant égard aux formules (i), on trouve

( \ V ( ^fi ^!^\ l ^ ^^ f^* ^\

^\dq^ dqj\dp^ dp^ dp^ dp^l~'

on obtient ainsi -^ équations homogènes par rap-

port aux — ^ quantités

d/7v d/î àq^ d^y ^

si donc on était assuré que le déterminant des coefficients de ces quantités n'est pas nul, on en conclurait

d/?v àp^

Voici comment on peut démontrer cette formule : observons que l'équation (2) peut s'écrire

^ ' ^\dgv^ àqjdp^dp^

QUATmÈlCB PAKTIE. CHAPITRE II. Io3

-en convenant de faire varier (i et v, tous deux de i à Xi. Désignons alors par R le déterminant fonctionnel

et par Af* le coefficient de -r-^ dans ce déterminant.

Multiplions la formule (3) par A?* A", donnons à fjt, v, J^ ]' les valeurs i, a, 3, . . • , A:, et faisons la somme des résultats, il viendra

2A«A? ^ ^ f ^^ — -M = o; * ^ fi^/?y «''^/'Ft \d7i* <i?v/

or si l'on a égard aux relations

y^^ A| ( opourv^/w, ^^ * 4pv ( R pour V z=: IW ,

ia formule précédente s'écrira

Or R ne saurait être nul en vertu de la formule (4), sans quoi les fonctions ^i, «t , . . . , a^ ne seraient pas des intégrales distinctes (*)'^ donc

àp„ âp^ U résulte de là que

(*) On sait que lorsqu'un déterminant de plusieurs fonctions est toujours nul, ces fonctions ne sont pas distinctes. (^Yoir la Note à la fin du volame.)

est une difTérentielle exacte. Soit alors

Si Ton se reporte actuellement à réquatioo de la fonctio» principale •

/dV dV \

^-^^■-^Vd7.'d7/"''^"^''--V=^-

et si à la place de V on substitue W, on trouve U 4- H — F(/?i, /?2, . . . , ^,, ^j, . . . ) =: o,

c'est-à-dire

U-hH — T=:o,

ce qui est une identité (en se rappelant que H = T — U)^ Ainsi la fonction W, en vertu du théorème de Jacobî^ fournira les intégrales qui restent à trouver par une simple différentiation ; elles seront

dW dVf dW

|3i, ^t, . • . , j3;t, r désignant de nouvelles constantes.