IX. — Variation des constantes dans les problèmes

DE Dynamique.

265. Supposons que la fonction H que nous avons considérée jusqu'ici puisse se décomposer en deux autres H| et A, de sorte que les équations canoniques

dq^dUj^ dp __ d^, dt dp ^ dt dq

puissent s'intégrer exactement^ désignons par a^ ffi,.* ., ati les fonctions qu'il faut égaler à des constantes pour

QDATAIÈME PARTIE. CHAPITRE II. Io5

oblenir les înt^rales de ces équatious, et proposons-nous d^intégrer les équations

1/7 __ dE, dh àp é/H, dh ' dt dp dp^ iU dq dq

Pour y parrenir, nous imaginerons que les fonctions «i, as,..., qui restaient constantes en vertu des équations (1), deviennent variables avec le temps, et nous nous proposerons de déterminer à quelles fonctions du temps il faut égaler ces quantités «i, «!,••. pour satisfaire aux équations (2).

A cet effet, aux variables p, q substituons les variables aiy «s,. . . , «tt qui sont liées à pi, /?s, . . . , ^1, qty . . . par les équations intégrales des formules (i), on aura, en vertu des formules (2),

dh ^dq rfHi dp dt dp

c'est-à-dire

^^ \dt) '^2ddx di "~ ^'

[ -^ j désignant la dérivée partielle de q prise par rapport à t. Or celle dérivée partielle est précisément celle * qui figure dans la formule (i). En eflet, si Ton suppose

A = o, les -7- redeviennent égaux à zéro, et Téquation précédente donne

\dt) dp '

Du reste, [-4] est la dérivée de q prise en regardant

les a comme des constanles; c'est donc la dérivée de la ' fonction qui satisfait aux formules (i). On a donc sim-

106 TRAITÉ DE HÉCÀlfIQUE RATIONNELLE.

plement

dh 1^ dq dcL dp ~~Zd d(M. dt '

on aurait de même

dh y^ dp dot j dq ^^ dt'

Si Ton porte ces valeurs dans la formule

dh ^ /dh dp dh dq\

doLi Jmd\dp dui dq dxi)

on trouve

266. Cette formule porte le nom de formule de Lagrange, Poisson en a fait connaître une autre quî donne

immédiatement —*, elle est identique avec celle que l'on

obtiendrait en résolvant les équations dont le type est (3)

par rapport a ~ * Un a

da, f ^^\ ^C* / ^* dq doL dp

acL I aoL \ ^^ / aa aq aa up Tt'^Vdî) 2id\dq'dt dp^t

OU

Or on a

/da

car, en faisant h = o, — s'annule, et la formule (4) se réduit à la précédente. Des deux dernières formules, on