QUATRIEME PARTIE. CHAPITRE II. 1 O

tire, par soustraction

dd

et, en remplaçant dans cette formule

dh dh dctx dh da^

dp ^ dcti dft doit dp * * * '

dh dh doLi dh dT.^

dq dai dq da^ dq

on a finalement

* ^ di ^'''doL

Telle est la formule de Poisson ; elle permet, comme on voit, de déterminer ai, a,, ... en fonction de t.

Les formules de Lagrange et de Poisson prennent des formes très-remarquables lorsque Ton choisit convenablement les constantes «i, a,,.. ., a^i. Pour plus de symétrie, nous désignerons les constantes a^^^i, aA^-D**-» ^tk par /3|, |3,, . . , , |3ji, et nous supposerons

les formules de Lagrange prennent alors la forme

dh ^ d^i dh doLi

^^^ dii'^'^'dt^ dpi~~'di'

Cette propriété du système de constantes ainsi choisies leur a fait donner le nom de constantes canoniques. Or, si nous nous rappelons les formules de Cauchy (2o6),

(«o «i) [«y» «i] -^ («o «2) [«y, aa] -f- . . .= I /^ /

f I pour 1=7,

et si on les applique aux constantes canoniques, on trouve

(aôPi)[ai>Pi] = i, (a,-, p,)[«y,Pi] = o,

d'où Ton conclut

(a/, p,) =z — ( P;, ai) =—i, (a/, aj) = ( a,-, Py) z=z (p,-, Py) = o.

Nous avons mis les intégrales des équations (i) sous la forme

S désignant une solution complète de l'équation différentielle de la fonction caractéristique. Il est facile de s'*assurer que les constantes a,- et |3,- ainsi choisies sont canoniques.

En effet, on a

dh dq rfH, dp dt dp OU

dh (^^\ ^ ^7 ^°^ ^^\

dp \di) Zid d(x. dt dp '

et, comme nous l'avons déjà remarqué,

dq\ __ e/H,

donc, en mettant les a et les j3 en évidence,

de même

dh ^ Idq doL dq d^\

Tp'^^\daL 'dt'^dp 'dij'

dh -^ /dp doL dp i/p\

d^'~"'Zà\doi di'^dpdt)