QUATRIEME PARTIE. CHAPITRE II. III
a^ Des actious des planètes dont les projections sont :
La force d^inertie dans le mouvement d'entraînement pour le point m est le produit de m par l'accélération du Soleil, accélération due aux actions de toutes les planètes^ cette force d'inertie a pour projections
-fm^
mZi
en sorte que la force qui agit dans le mouvement relatif a pour projection sur Taxe des x
— (MH-/w) ^ niiX
[x^ + 7^ -f- z») ' [xf -h fi -h z} )
m,' {Xf — x)
[{j,--^xy^{xi-^xy-^{zi^zY]
en sorte que si l'on pose
\/^} 4- jr ? + zi
nii
)/{xi — x)» -+- ( Xi — jry-h (zi — zy
yjc* -f,/' -h z^ on trouve, pour équations du mouvement du point m^
d^x rfR d\] d'y dt^ dx dx df"
lia TRAITÉ DE MÉCANIQUE KATIONNELLE.
268. Ces équaiions se mettent sous la forme cano nique comme il suit :
dx' dVi dV dy' __ dz' __
dt dx dx dt dt
la quantité H est ici S (x'* -h j" + «'« — R — U). Nous allons d'abord intégrer le système
dx' du dt dx '
dy' du dt dy'
dz' dU dt dz *
dx , dt "'
dt ^ '
dz
dt
Nous savons que, en vertu du principe des aires, le mouvement s'eflectue dans un plan en prenant momentanément ce^lan pour plan des .ry, et en posant y ( M + m) égal à |ut et r' = a:*-f-^', les équations (a) deviennent
dx' d \L dy' d \L
dt dx r^ dt dy r^
dx , ^r /
dt-""' dt-^'
Nous connaissons deux intégrales : celle des aires et celle des forces vives, ces intégrales sont
xy' — yx' zzzc.
Or nous nous trouvons ici dans le cas signalé par M. Lionville; en effet, on a
, , , dh de dh de , , » ,
QCJATKièME PARTIE. CHAPITRE II. Il3
donc
x! dx -+- j' dy = dW
est une difiereiitielle exacte.
En tirant x' et y des équations (3), on trouve
„„ rdx — xdr , n-^^ t\ àr
ou enfin
W =: c arc tang ^ ±: / 4/ ( 2 U -f- ^ ) — 4 ^''• Les intégrales sont (264)
dW dW
zi= const , = ^ -I- T •
de ' dh '
c'est-à-dire
/* cdr
arctang-± / = = const.,
On retombe ainsi sur des calculs déjà effectués par une autre méthode.
269. II n'entre pas dans notre plan de traiter la question des perturbations planétaires, et nous renverrons pour cet objet à la Mécanique céleste ^ toutefois nous indiquerons en quelques mots la marche à suivre dans la suite des calculs.
La fonction R est appelée la fonction perturbatrice; II. 8
Il4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RÀTlOHlfELLE.
on la développe en série, et, dans une première approximation, oh ne conserve que les premiers termes de la série*, on forme ensuite les équations (265)
da, ^ , , dh
— z^ 2d ( oc. a,- ) — — •
«1, ctt,. . . sont les fonctions qui, égalées à des con> stantes, représentaient les ititégrales du mouvement elliptique, et l'on sait que [a^ oli) est indépendant du temps; les équations précédentes font alors connaître les fonctions a.
Autre manière de résoudre la question, — Nous avons vu au n° 252 que, pour résoudre un problème de Dynamique, il suffisait de connaître une solution complète de Féquation aux dérivées partielles de la fonction principale, d'égaler à des constantes les dérivées de cette solution, prises par rapport aux constantes d^ntégration, et d^égaler au temps la dérivée de la même fonction prise par rapport à la constante H des forces vives.
Dans le cas d'un point libre, de masse m, sollicité par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance, Téquation de la fonction principale est (252)
U désignant la fonction des forces, et h une constante. Si l'on place le centre d*attraction à l'origine des coordonnées 5 si l'on pose en outre
xz= rsînô cos>p, y == rsinOsinrp) z z=z rcosô,
