XII. — Définition des coordonnées elliptiques

273. Désignons par X, fji, v les trois racines de Téquation en t

et considérons les équations

^^^ ^ rt*-4-f* A^-f-fA C^+fA '

fl^-rv ft*+v c*+v '

les trois racines X, fi,' v sont, d'après ce que nous avons vu au paragraphe précédent, réelles et inégales, et Ton a, en supposant «^i^c, i<^(!x<^v,

n résulte de là que les équations précédentes (9) représentent, la première un hyperboloïde à deux nappes, la seconde un hyperboloïde à une nappe, et la troisième un ellipsoïde \ ces trois surfaces déterminent par leur intersection un point (Ç, y?, ^) de l'espace*, or ces surfaces sont déterminées quand on se donne X, fx, v, en sorte que X, /x, V peuvent être regardées comme les coordonnées d'un point. M. Lamé les appelle les coordonnées elliptiques du point (J, yj, f).

Il est facile de reconnaître que les surfaces (9) sont homofocales, c'est-à-dire que leurs sections principales ont les mêmes foyers, car les différences des carrés des

laO TRAITÉ DE MÉCANIQUE KATIOHNELLE,

Mais cette conclusion ne s'applique pas au cas f' ^ aurait p = ^. En écrivant alors M^ au lieu de M ^

En posant alors '^ ft.

Commençons par calculer m, on ^ * \;' *^

or le numérateur de m, en

nule pour X = X, , Xt ^. . . .

haute puissance X** de X

et, par suite, >

i/tf « / cos7'= o,

t ^.ioposition que nous avions

Si 1 on fait a . ^^ jyj^ Dupin sur les surfaces or-

.jntre alors que chacune des surfaces (^) par les deux autres suivant ses lignes de

d la un moyen de trouver les lignes de cour- 1 équar surfaces du second ordre.

j74* Les formules qui serviront à passer des coor-

j/tmoées rectangulaires aux coordonnées elliptiques se-

font données par les équations (3) qui, dans le cas parti-

\tRIÈMB partie. CHAPITRE II. 123

-r^ ^occupe, se réduiront k

"^ V-f->)(g'+fi^)(^'-t-v)