UN ELLIPSOÏDE

^ vement d'un

\ -, yj, ^ ses

données ellipc\ désignons enfin

JL des formules (6) et (7), X r/r'r^ ^ (L d\^ + M ^pt^ + N rfv'),

; iV désignant, pour abréger, les quantités suivantes :

(II) Jm= (f^-X)(f^-v)

On peut alors écrire

2T = 1 (LV^ -h Mp'^+ Nv''j,

demi-axes de ces surfaces sont les mêmes pour ces trois surfaces.

On peut démontrer également que les surfaces (9) se coupent orthogonalemen t. En eflet, si l'on désigne par a, (3, y les angles que la normale à la prerçiière surface fait avec les axes, par a', jS', y' les angles analogues relatifs à la seconde surface, on aura

cosa = — - , cos p = - r: — ^ ' cos7 = t "; — r»

cosa =--7-- , cos 8' = —7- , coS7' = -7--; y

A et A' désignant des quantités dont la forme est bien connue. Il en résulte

cosa cosa' H- cos ^ cos P' + COS7 COS 7'

Mais la quantité écrite entre crochets est une de celles que nous avons désignées au paragraphe précédent par Mp^^5 elle est donc nulle, et Ton a

cosa cosa'+ cos p cos p' 4- cos 7 0087'= o,

ce qui démontre bien la proposition que nous avions énoncée. Le théorème de M. Dupinsur les surfaces orthogonales nous montre alors que chacune des surfaces (9) est coupée par les deux autres suivant ses lignes de courbure. De là un moyen de trouver les lignes de courbure des surfaces du second ordre.

274. Les formules qui serviront à passer des coordonnées rectangulaires aux coordonnées elliptiques seront données par les équations (3) qui, dans le cas parti-