CENTRES FIXES EN RAISON INVERSE DU CARRÉ DE LA DISTANCE

Le problème que nous nous proposons de résoudre a acquis une grande célébrité dans lesannales delà science. Les géomètres, n'ayant pu parvenir à intégrer les équations du mouvement des corps rélesles, diininuèient peu à peu la généralité de leur problème, réduisirent d'abord les corps célestes à trois points libres, enfin à un seul point libre sollicité par deux points fixes. Ce dernier problème a été l'objet de travaux remarquables de la part des géomètres les plus illustres. Euler, Lagrange,

QUATBJÈME PARTIE. CHAPITRE II. l^J

Jacobi, M. Liouville s^occupèrent successivement de la question^ en 1847, ^- J-"-^- Serret semblait avoir résolu le problème d'une façon tout à fait satisfaisante dans la tbèse qu'il a présentée pour le doctorat^ mais, dans les œuvres posthumes de Jacobi (Vorlesungen)^ on trouve la solution suivante, qui est tellement simple, que nous ne pouvons nous empêcher de la reproduire ici.

Nous suivrons toujours la même méthode d'intégration; nous commencerons par écrire l'équation de la fonction principale

<■» , (SV- (f ) V ©■— "H.

Dans cette formule, U désigne la fonction des forces et H une constante; x, y^ z sont les coordonnées du point mobile, m sa masse^

Commençons par transformer les coordonnées, et prenons pour nouveau plan des xy le plan qui passe par les deux centres fixes et le mobile; désignons par ^ l'angle que ce plan fait avec sa position initiale. Si Ton prend pour axe des x la droite qui joint les deux centres et pour origine le milieu de cette droite, on aura les formules de transformation

et, en supprimant les accents, la formule (1) deviendra

dyy [d\y i fd\y

Cette formule peut se décomposer en deux autres :

La dernière donne immédiatement une solution Yi,

Occupons-nous de la première. Prenons pour variables des coordonnées elliptiques et posons

û'-hjx b*-¥-

ce qui revient à déterminer un point par l'intersection de deux courbes du second degré homofocales. Soit a/* la distance des foyers, en sorte que

Soient r et r' les distances du point mobile aux deux centres, on aura

et, comme l'on a (271)

on en conclut

et de même

. ^ r X — IL

La quantité 2 mil est de la forme 1 — ;-, en sorte que

Ton pourra écrire

(3) 2/wU=--^— [^Va^Vx-f- AVa^-f-fitl,

X — pt * -*