CHAPITRE PREMIER. — PROBLEME. INDICATIONS HISTORIQUES
figures voisines d'une sphere. En 1884, il montra qu'il y a d'aulres surfaces d'equilibre voisines des ellipsoides de Maclaurin et de .Jacobi et il en poursuivil l'etude tres loin. Ses travaux publics en russe ne furent traduits et connus en France que 20 ans plus tard (1904).
Cest un autre travail qui attire l'attention de Poincare sur la question. Mme Kowalevski avait envoye en 1 874 ? a l'Universite de Gottingue, un Memoire remarquable sur l'anneau de Saturne, ou elle etablissait rigoureusement l'existence de la figure annulaire comrae figure d'equilibre. Ce Memoire est publie en 1 885 . Poincare s'occupe alors de la question de l'anneau, puis du probleme general de Tait et Thomson (Comptes rendus et Bulletin astrono?nique, 1 885 ). Dans un travail d'ensemble, il demontre que les ellipsoides de Maclaurin et de Jacobi forment des series continues possedant une infinite de points de bifurcation discontinus ou apparaissent de nouvelles figures d'equilibre, differentes des ellipsoides et donnant naissance a aulant de series nouvelles ou de rameaux. II calcule la position de ces points, il determine la forme de ces nouvelles figures, dont la plus simple se rapproche de l'oeuf ou de la poire, forme ovoide ou piriforme. II en indique letranglement possible. Cest l'ensemble de ce travail de tout premier ordre, chef-d'eeuvre de Mecanique analytique, qui a ete publie au Tome VII des Acta Mathematical 1 885 . Puis dans les Lecons sur les figures d'equilibre, Poincare demontrait en passant que la fonction h de la vitesse de rotation ne pouvait en aucun cas etre superieure a un ; autrement il y aurait rupture, la force resultante etant alors dirigee vers l'exterieur. Grudeli a demontre que dans le cas d'une surface convexe cette limite est abaissee a £ {Rend, della Accad. dei Lincei, iev semestre 1910, p. 666). Poincare s'est borne a la premiere approximation. LiapounofT a donne une methode permettant de pousser l'approximation de plus en plus loin. II est juste d'ajouter que M. Liapouaoff demontra l'existence des nouvelles figures en etablissant la convergence de cerlaines series : e'est l'appareil analytique necessaire a cette demonstration qui rend difficile la lecture des Metnoires de LiapounofT.
Cest G. II. D,ir\>in qui a fait les calculs numeriques determinanl d une la^on precise la forme de la premiere figure de bifur-
cation et qui lui a donne le nom de figure pirif or me {Phil. Trans.. A, t. 198, 1902). P. Humbert dans sa these (1918) a montre que les sections principals de la figure piriforme ne presentent pas de points d'inflexion et il acalculeles figures de bifurcation suivantes.
4° Stabilite des figures d1 equilibre . — Une fois un mouvement de la masse liquide trouve, il faut voir s'il est stable, e'esta-dire si, en deplaQant, infiniment peu et d'une maniere arbitraire, les molecules les unes par rapport aux autres et en leur donnant des vitesses relatives infiniment petites, on obtient un nouveau mouvement infiniment peu different du mouvement de rotation primitif. Les figures stables seront les seules qui pourront exister dans la nature. Les resultats principaux sur cette question sont encore dus a Thomson, Liapounoff et Poincare. Toutefois cette question plus compliquee est restee encore bien obscure.
Les premiers auteurs s'en etaient peu occupes. Laplace reconnait qu'un anneau de Saturne fluide serait instable. La demonstration rigoureuse en a ete donnee par Mine Kovvalevski.
Lagrange a demontre par la theorie des petits mouvements que, pour un systeme soumis a des forces qui derivent d'un potentiel, il y a equilibre stable quand l'energie potentielle du fluide est maximum. 11 ne demontrait pas le theoreme dans sa generalite. G'est Lejeune-Dirichlet qui en a donne la demonstration rigoureuse et classique, independamment de la theorie des petits mouvements. D'ailleurs, l'existence d'un maximum est une condition suffisantet mais elle ne parait pas necessaire et 1'equilibre pourrait etre stable sans cela. La reciproque du theoreme de Dirichlet a ete demontree pour un cas tres etendu par Liapounoff (Journal de Mathematiques , 1896). Cette demonstration a ete reprise et precisee par Hadamard (Memoire publie dans les Comptes rendus,
Thomson et Tait, dans leur Treatise on natural Philosopliy , introduisent une notion nouvelle et fondamentale, en dislinguant la stabilite seculaire et la stabilite temporaire ou ordinaire, dans 1'equilibre relatif par rapport a des axes entraines avec le corps, lis montrent que, s'il n'y a pas de frottements, la condition de Lejeune-Dirichlet est toujours suffisante. 11 j aura equilibre stable des qu'elle sera realisee et 1'equilibre se conservera indefiniment.
