CHAPITRE PREMIER. — PROBLEME. INDICATIONS HISTORIQUES
Mais dans un corps qui se deforme il s'introduit des frottements dus a la viscosite. Dans ce cas, la condition de Lejeune-Dirichlet devient necessaire. Si elle n'est pas remplie, l'equilibre pourra exister, mais il pourra etre detruit a la longue par la perte d'energie due aux frottemenls.
Poincare et Liapounoff ont remarque que, s'il y a des deformations (juelconques, les mouvements sont malaisement definis par rapport aux axes mobiles. En tout cas, Poincare simplifie d'abord le probleme en considerant la stabilite dans le cas de l'equilibre absolu par rapport a des axes fixes, pour un systeme a n degres de libertc. Tl definit la fonction des forces, au voisinage d'une position d'equilibre, de fagon que les termes principaux forment une somme de n carres, avec n coefficients qui sont les coefficients de stabilite. Si tous ces coefficients sont negatifs, la fonction est maximum dans la position consideree : il j a equilibre stable. Si un ou plusieurs de ces coefficients sont positifs, ily a un ou plusieurs degres d'instabilite. L'equilibre est plus ou moins stable. Le nombre n peut devenir infini.
Quand deux series de figures d'equilibre se croisent, leurs coefficients de stabilite deviennent egaux. L'un d'eux s'annule en general et change de signe. II y a echange des stabilites. La serie qui etait stable devient instable et reciproquement.
Poincare etend ces resultats a l'equilibre relatif par rapport a des axes tournant avec le fluide. II faut alors faire entrer la force centrifuge dans la fonction de forces et Ton obtient une nouvelle fonction qui doit rester maximum. Cette condition du maximum qui est necessaire n'est plus suffisante.
Les ellipsoides de Maclaurin sont stables jusqu'a l'-ellipsoide de bifurcation (stabilite seculaire). lis le restent meme toujours au dela s'il n'y a pas de frottements (stabilite ordinaire ). lis prennent ensuite un degre d'instabilite a chaque nouveau point de bifurcation.
Au premier ellipsoide de bifurcation la stabilite passe aux ellipso'ides de Jacobi, jusqu'a l'ellipso'ide de bifurcation qui conduit a la figure piriforme. Au dela, les ellipsoides de Jacobi prennent 6g dement un degre d'instabilite a chaque nouveau point de bifurcation.
M ii^ le erit£rium de Poincare pour l'equilibre relatif ne s'ap-
10 FIGURES D'EQUILIBRE d'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
plique plus nux figures non ellipsoidales, comme il en convienl lui-meme a la suite (Tune remarque de Schwarzschild (1896) et
11 donne alors les formules qui peuvent permettre de trancher la question on ce point douteux {Phil. Trans., 1902). Darwin fail les calculs necessaires, mais seulement jusqu'ala deuxieme approximation, et il trouveque la figure piriforme eststable {Phil. Trans.. 1902, rgo8), mais ce resultat parait inexact.
Liapounod de son cote determine une autre fonction que cede de Poincare qui doit etre maximum dans le cas de la stabilite, quelle que soil la figure. II fait les calculs relatifs a la figure piriforme et demontre qu'elle est instable (1908).
Jeans enfin a recommence les calculs de Darwin en appliquant la formule de Poincare jusqu'a la troisieme approximation {Memoir of the Roy. Astr. Soc, t. LXII, 1 9 1 7 ) . 11 montre que la deuxieme approximation £tait insuffisante et que la figure piriforme est instable, conformement a la demonstration de LiapounofF.
3. Autres recherches. — On peut reprendre le meme probleme pour une masse heterogene ou la densite varie d'une fac,on quelconque. G'est un probleme plus difficile et beaucoup moinsetudie que le precedent. Gependant, c'est le seul qui soit applicable a la Mecanique celeste et a la Figure de la Terre.
Sur ce point Glairaut a donne une solution remarquable du probleme, en supposant la figure d'equilibre voisine de celle d'une sphere et la masse constituee par des couches homogenes concentriques. II resout completement le probleme dans le cas d'une vitesse faible et uniforme dans toute la masse.
Les principaux travaux tentes depuis sur les ellipsoides heterogenes a trois axes ou de revolution, sontdus a M. Hamj (These de doctorat, Journal de Mathematiq ues , t. VI, 1890) et a M. Veronnet (These de doctorat, Journal de Mathematiq ues, 4 e fascicule, 1912). Gette etude formerale second fascicule de cetOuvrage.
D'autres recherches ont ete faites dans l'ordre d'idees suivant : on peut se demander quels sont les mouvements qui laisseraient la surface exterieure invariable de forme, tandis que les elements interieurs et superacids du fluide subiraient des deplacements relatifs, la pression pouvant etre supposee nulle ou constante a la surface.
