CHAPITRE PREMIER. — PROBLEME. INDICATIONS HISTORIQUES
avec corps central est une figure d'equilibre; mais ces derniers calculs ne presentent pas encore toute la precision desirable.
2° De Jacobi a Poincare. Les ellipsoides a trois axes. — On crut pendant longtemps qu'il n'y avait pas d'autre figure d'equilibre que l'ellipsoide aplati et l'anneau. II faut attendre jusqu'en 1 834 pour voir s'introduire des idees neuves et des solutions nouvelles, qui devaient ouvrir une voie feconde. Jacobi fait 1 emarquer que lepotentiel de rellipsoide a trois axes s'exprime par une fonction quadratique des coordonnees de la surface, comme le potentiel de la force centrifuge et l'equation de l'ellipsoide. II montre ainsi que les ellipsoides a trois axes inegaux tournant autour du petit axe peuvent etre des figures d'equilibre : ils portent, depuis, le nom A1 ellipso'ides de Jacobi. II suffisait, en effet, comme dans le probleme de Legendre, d'identifier l'equation de la surface, et le potentiel total a la surface, pour determiner les elements d'un ellipsoide repondant a la question.
Liouville en a fait la demonstration analjtique {Journal de Mathematiques, 1 834 )• D'autres demonstrations ont et6 donnees en particulier par Smith ( 1 838 ) et Plana ( 1 853 ) . Otto Mejer, puis Liouville, en prenant comme variable la vitesse de rotation, ont fait la discussion complete des equations qui se presentent ici.
Poincare fait remarquer {Revue generale des Sciences, 1892, p. 67) que ce fut un etonnement dans le monde scientifique de constater qu'il pouvait y avoir des figures d'equilibre d'un corps en rotation qui n'etaient pas des figures de revolution. De Pontecoulant avait cru pouvoir affirmer le contraire et cela paraissait assez plausible. En tout cas la resultante des forces etait bien partout normale a la surface dans un ellipsoide de Jacobi. II j avait equilibre. L'etonnement devait etre bien plus grand a l'annonce des figures piriformes d'equilibre.
La valeur limite de l'expression h etait plus faible encore pour les ellipsoides a trois axes que pour les ellipsoides de revolution. Elle ne devait pas d^passer 0,1871... Avec des vitesses de rotation de plus en plus faibles, l'ellipsoide s'allonge de plus en plus. L'axe mojen se rapproche du petit. La figure tend vers celle des ellipsoides de revolution allonges, en forme d'aiguille. 11 y a done dlsormais pour les faibles vitesses trois figures d'equilibre pos-
sibles thcoriquement : la sphere, le disque, l'aiguille, e'est-a-dire des figures limites a trois, a deux, a une dimension. Enlre ces limiles il y a deux series distinctes de figures d'equilibre : les ellipsoides aplatis et de revolution de Maclaurin et les ellipsoides allonges et a trois axes de Jacobi, avec nn eilipsoide commun. on la seconde serie se separe de la premiere.
Mathiessen ( 1 85y) etudie de nouveau la figure annulaire. II etablit de plus que le cylindre indefini de section elliptique est encore une figure d'equilibre. Dans ce cas la rotation se fail autour de l'axe du cylindre. C'est le probleme simplified puisqu'il suflii de considerer une section plane : ce probleme a ete etudie plus completement plus tard par Jeans {Philosophical Transactions, A, t. 200, io,o3) et par Globa-Mikhailenko {Journal de Mathematiqucs, 191 6).
3° Poincare et Liapouno ff. Les figures de Poincare. — Le probleme traite par Liouville fut regarde comme sufnsamment resolu et laisse dans l'oubli pendant pres de 25 ans. Deux faits nouveaux le font entrer dans une nouvelle phase.
En 1 883 parait la troisieme edition du Treatise on natural Philosophy de Thomson et Tait. Les auteurs y indiquent qu'en considerant l'augmentation progressive du moment de rotation, an lieu de lavitesse de rotation, on obtient une serie de figures stables, partant de la sphere, suivant les ellipsoides de Maclaurin, jusqu'a celui qui donne naissance aux jacobiens, puis une serie d'ellipsoides de Jacobi a trois axes, qui en s'allongeant doivent finir par se diviser en deux masses distinctes. Mais on ne savait rien sur les figures d'equilibre intermediaires entre les ellipsoides de Jacobi et la figure de rupture : Thomson et Tait signalent cette lacune.
Deja Tchebytchef, en 1882, s'etait pose la question de savoir ce que devenail Pellipsoide de Maclaurin quand il arrivait a sa vitesse de rotation critique maximum, qu'il ne pouvait pas depasser. Si Ton augmentait cette vitesse limite, infranchissable mathematiquement, que se passait-il? La masse allait-elle se briser? Serait-ce rellipso'ide de rupture? Y aurait-il bifurcation vers d'autres figures d'equilibre ? II avait fait part de ce probleme a Liapounoff. Celui-ci appliqua alors la melhode de Legendre, aux figures peu differentes d'un eilipsoide, comme Legendre Tavait d'abord appliquee aux
