IP K^-^H
Le facteur enlre parentheses est toujours nul quand il s'agit d'ellipsoides de Jacobi. Done (35 n'est pas nul, mais quelconque.
Pour les autres valeurs de k le second facteur ne sera pas nul en general et ne pourra Fetre que pour certaines valeurs numeriques speciales des axes de rellipsoide. Mais, pour un ellipsoi'de (|iielconque, il n'en sera pas ainsi et les ps, ... seront mils.
7o. Signification des deux premiers coefficients. — Nous venons de voir que le probleme pose admet au moins une serie de solutions, quel que soit l'ellipsoide d'ou Ton part, e'est-a-dire que les coefficients [3a ne sont pas tous nuls, me me pour un ellipso'ide quelconque. En effet, nous avons vu que (3j et $s restent toujours arbitraires, de sorte que nous obtiendrons encore une figure d'equilibre en considerant la couche
£208) r = Si^MiNi-f- (MoMvN,.
Nous allons voir qu'en realite cette couche ne donne pas une uouvelle figure d'equilibre, mais seulement un deplacement de la premiere.
Comme 3, et (34 sont infiniment petits, nouspouvons considerer celte couche comme la superposition de deux autres :
cV^JoMiN,, C = MoM4N4.
Considerons la premiere. Nous avons vu ( 1 86) n° 69 qu'elle s'obtient en faisant glisser rellipsoide d'une quantite infiniment petite 00' parallelement a Ox. On a alors
p, = ft?.
Cette solution est d'ailleurs evidente, puisque e'est le meme ellipsoide tournant autour du meme axe de rotation.
Le second cas s'obtient, comme nous allons le voir, en faisanl lourner les axes Oy, Oz et la figure de 1'ellipsoide autour de
APPKi.r.. — lv. 12
Vaxe Ox. Soient, en ed'et, dO l'angle dont on a fait tourner cos axes et P un point de coordonnees y, z {fig. 35). Appelons "\ le
Fig. 35.
potentiel en P du a l'ellipsoide primitif et Vi lc meme potentiel apres la rotation. Or V , peut s'obtenir en laissant rellipsoide fixe et en faisant tourner P de — $6 pour l'amener en IV Le potentiel V, en P est le memo que le potentiel V en P,, e'est-a-dire
Mais
done
\ ,( >. y. z I = V(#j, fi, Si).
V(x, y - zM,z -y 80) = V(ar, y, z) -h 89^0 - y I
En appelant V le potentiel dii a la couche en P, on a. en tenant
compte de (188),
La parenthese serait nulle dans le cas de rellipsoide de Maclaurin. Elle ne Test pas dans celui de Jacobi. II est evident, d'ailleurs. que la couche serait nulle dans le premier cas, rellipsoide etant de revolution. Remplacons alors y et z par leurs valeurs a la surface (181), il vient
V' = 86^ — p^T/i2^3R§ROMaNaM3N3=aM*N4.
La couche correspondant a ce potentiel serait done, d'apres ( 1 77' ), de la forme
