CO X

0 0 ( )i . le volume de la couche etant nul, on a

f r ch = 0 0.1 ^ jf fx U ^ = <>.

Mais d'apres les proprietes des fonctions de Lame (170), tons les termes sous le signe 2 sont mils, sauf le premier d'indice o, car Ba = 4> (a, v) est de l'ordre zero en tu et v, comme a*(i23) et i 127), et l'on a

/ >0 A. M0 N0 rfd = [30 ^ /„ tfs = o.

II s'ensuit que (30 = o et la serie qui donne £ commence par le terme d'indice 1, a l'exclusion du terme d'indice o. On aura done finalement

(202) r-^ §kl<Mk&k'

II faut v joindre 1'expression du potentiel de la couche sur ellemrme.

( ^es trois formules pei mettent de passer de la couche a son potentiel ou inversement.

11. Determination des coefficients qui definissent la deformation. — Portons ces valeurs de A 0 el de £ dans (201) et rempla-

i;(> FIGURES D'EQUILIBRE DUNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

cons gl0 par sa valeur (200). il vient, en supprimant les indices o,

Cette equation a lieu en tous les points de l'ellipsoide, queJles que soient les valeurs donnees a pi et v. Elle represente done le developpement d'une constante en produits de Iiame. Comme ce developpement n'est possible que d'une seule mahiere, il faut que tous les coefficients soient nuls, sauf celui de degre o, qui est constant. Or, on vient de voir qu'il est nul. Done la constante et tous les coefficients sont nuls.

Pour que la couche £ donne une figure d'equilibre, il y a done une infinite de conditions a satisfaire. Elles sont donnees par la relation generate

(204) . --T-)=0 = ^3,,.,, oo),

Chacune de ces relations est le produit de deux facteurs. Si le second facteur n'est pas nul, (3* est nul. Au contraire, {i^ est arbitraire et non nul si le second facteur est nul. Si ce second facteur ne pouvait pas s'annuler, tous les ^ seraient nuls et il n'j aurait pas de figure d'equilibre.

Examinons cette relation pour n = i . On a 2//+ 1 = 3, et Ton peut supprimer le denominateur. Pour k = 1, il vient

(205) Pi(Sj Rj — S1R1) == o.

Le second terme est nul, done [3, reste arbitraire. Pour k = 2 et k = 3, on a

(206) P*(S2R2— Sj R 1 ) == o. p,(S, R5 — StRi) = o.

Or, les parentheses ne sont pas nulles, d'apres la formule (190): on a done (32 = o et (33 = o. On a vu que R, , R2, R3 sont les trois seules fonctions correspondant au cas n = 1 .

Pour n = 2, on a a considerer les cinq fonctions d'indice k = 4.. -8. II faut de plus, ici, separer le cas ou l'on cherche les