CHAPITRE VII. — FIGURES DEQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES. I'JiJ

('/est bien le cas de A = 4* Les solutions veritables commenceront done a /. = 5. Elles no pourront d'ailleurs apparaitre qu'en des points separes, sur la courbe d'equilibre, puisqu'elles verifient une equation dependant d un nombre entier2// -f- i.

Les ellipsoides d'equilibre speciaux qui sont de cette nature, e'est-a-dire tels qu'il existe des figures d'equilibre infiniment voisiiu's. seront appeles ellipsoides de bifurcation.

70. Discussion generale des equations de condition. — Nous allons discuter d'abord, avec Poincare, l'equation generale

2/l-i-l ip -h I

R | ct S/, etant d'ordre R/ et S,- etant d'ordre p. On peut d'ailleurs avoir p= ?i, pourvu que Ton ait i ^ A.

Supposons a2, 6-, c- donnes. R ne reste plus qu'une variable p- \ a riant de oc a a2, et la variable elliptique correspondante u varie de <> a cc. Gonsiderons alors, au lieu de F, la fonction auxiliaire

I i - Comme Ra a ses racines comprises entre a2 et 62, il ne

s'annule pas dans le cbampde variation de p, et par consequent F, aura les memes racines que F. Nous pouvons ecrire

[ « i Si i Sf/RAi

En derivant par rapport a ?£, on a

rfF, i i R? i \Si d/RiY —i St d ( R,

W'i \\f R| 7±p^\- i R* du \ R^ / ~ :>. p -\- i Rj \ R car nous avons vu que I on avait

Nous pou irons done encore ecrire

' rf« ' >. p - \ R| 2jt?H-I cfo \R*/

s el conservent unsigne constant dans l'intervalle de variation.

I So FIGURES D EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

Done l'expression no changera de signe qu'avec la derivee du second membre.

Premier cas. — Si le rapport |V' varie dans le me me sen^, ^a

derivee conserve un signe constant et egalement. Done F,

variera toujours dans le meme sens avee p et ne pourra s annuler

qu'avec p == oo, caralors F, est de 1'ordre de -•

Ainsi, dans ce cas, quand p part de l'infini et va vers a-. F| pari de o et garde un signe constant. On peut rejeter sans discussion la racine p = oo qui donne une sphere, car alors les axes sont egaux a l'unile. La fonction F,, et par consequent la fonction F, n'ont

pas de racine, quand ~ varie dans Je meme sens. II n'j a pas de figure d'equilibre.

Second cas. — Le rapport ne varie pas toujours dans le meme sens. Developpons sa derivee; on pourra ecrire

~- = — ~ \r (i> = RR*~RiR,).

(la ip + i \\f.

Son signe ne depend que de celui du nume>ateur, e'est-a-dire de 9. Prenons de nouveau la de>iv£e de ce numerateur; on a, en remplagant les R" par leurs valeurs ( 1 4 1 ) »

(212) <?'= R'-R* — R*R/ = R/R* \[p(p-+- i)-n(w+ — II, j.

Or R; et R* conservent un signe constant; par consequent, d ne peut avoir qu'une racine en p- superieure a a2. Alors, d'apres le theoreme de Rolle, 9 aura au plus deux racines et F., an plus trois dans le meme intervalle. En rejetant la racine infinie, on voitdonc que F|, et par consequent F, auront o, 1 ou 2 racines.

Remarque. — Si p == n, le crochet de 9' est independant de p et 9' ne peut plus s'annuler. Dans ce cas, F n'a plus que o ou 1 racine, la racine infinie exclue.

Revenons a l'equation de condition proprement dite ou Ton a fait i =p = 1 :

(«9) F = !ii^-!k^=0.