CHAPITRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES
Or on a vu au n" 50 que Ha pouvait prendre liuit formes dillerentes, donl quatre sont divisibles par II, = y/p2 — a'2. Pour ces quatre formes, le rapport conserve un signe constant. 11 n'y a pas de solution.
Pour quatre formes seulement, il pent v avoir des racines. Donnons a o une valeur tres grande; la valeur principale de F sera
F= 11 1 Xl
On a done F>o pour n>\ et o — zc. Faisons de meme p2 = a2, on aura H, = o et F << o.
II v a done un nombre impair de racines dans rintervalle. Ge Dombre de racines ne peut etre que o, i on i d'apres la discussion pr^cedente. Pour chaque valeur de /?, il y a done une racine et une scale pour cliacune des quatre formes.
Remarque. — Pour n = i , il n'y a pas de racines, car les quantiles ll)S| — ■ Po>SL> et P\|S| — R3S3 correspondant a ces deux cas lie s'annulent pas. D'ailleurs
W'l — \\l = f-—b± on Rf = Rjj = P2 — C2, et le rapport |^ varie toujours dans le meme sens.
Cas particulier. — Considerons l'equation Fdes ellipsoides de Jacobi :
R , n'est pas divisible par Pi, ; il y a done toujours a cette equation une racine et une seule. Ainsi, les quantites a2, 62, c- etant donnees, il y a toujours une valeur et une seule de p2 verifiant cette equation. II \ aura done toujours, parmi les ellipsoides liomofocaux .1 un ellipsoide donn6, un ellipsoide bomotbetique a un ellipsoide de Jacobi et un seul.
77. Ellipsoides de Maclaurin. — Puisqu'il s'agit d'ellipsoides de revolution, les deux conditions a realiser pour que ces ellipsoides
soient de bifurcation seront
< 214 ) R2 = Bs (>'
Elles permettronl de determiner, par exemple, a et c, et nous pourrons considerer comme inconnus p et 6.
Nous avons vu, an n° 55, que, dans le cas d'un ellipsoide de revolution, les fonctions de Lame degenerent en fonctions spheriques. On pose
tang®.
oli o represente la longitude du point, et les fonctions de Lame peuvent s'ecrire
On a pose t = is dans Pu, car p2 ^> Enfin peut prendre l'une des deux formes cos^ycp et sin/?cp.
Appliquons les resultats des discussions precedentes. Pour que l'equation de condition ait des racines, il faut que R/i ne soit pas divisible par R,, c'est-a-dire par s, car Pi, = s, a un facteur constant pres.
Or (i -4-s2)2 ne contient pas s en facteur. II faut done que la derivee - — ' ^n+ltS ^ ne le contienne pas non plus, c'est-a-dire
qu'iY faut ([lie n -h p soit pair; p sera de meme parite que n.
II est facile de voir que cette condition revient a rejeter les quatre formes divisibles par R,, comme on Pa demontre ci-dessus.
Soit 7i pair (les raisonnements seraient les memes pour n impair). II faut que p soit pair et compris entre o et n. Determinons la valeur de la deformation £. A chaque valeur de p correspondront deux solutions :
el
P*4 = cospo N/-'=?in/?c.
