CHAPITRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES

\ous aurons done deux valeurs de (3* arbitraires, d'ou

\ o - — Lil- ( (3* Rj? S£ \/; cos/> f -:- P/fc'R/-' St sinpo ) .

On peut simplifier l'expression de s et eliminer Tundes (3/v arbitraires en posant

p*»= (3* tang a.

On a

(2l5) y- = ~^7T~ (cos a cosy? 9 -;- sin a sinps) == AX(J cosQp© — a).

II suffit de faire tourner les axes de Tangle a dans le sens convenable, pour ramener la solution generale a la forme simple

i 'i V i T = pX£cos/><p.

to

Soit y> = o. On a pour la solution

Alors v s'annule pour >i valeurs de p. Or, les courbes p. == const, sont des paralleles de la surface, symetriques deux a deux par rapport au plan desyz. Done £ s'annule et change de signe sur les paralleles. De plus, t — o n'est pas racine et £ n'est pas nul sur lequateur ou y. — a. De m£me t— i n'est pas racine, car X" est independanl de (i — t-) et £ n'est pas nul au pole ou /jl = c.

On obtient done une figure a cannelures {fig. 36). G'est une figure d'equilibre zonale d'apres la terminologie anglaisedu n° 36. On peut supposer, avec Poincare, que, la vitesse de rotation augmentant, les cannelures se creuseront a mesure que la vitesse de rotation augmentera, et que l'equilibre pourra subsister. La demonstration n'est rigoureuse que dans le voisinage de la figure ellipsoidale.

Soit j) = n. On a les solutions

(217) f% = PX;j cos n o, X» = h\ (i - !»)■ = ft, (i- ft)* .

S ne [>eut s annulcr que pour = c ou pour cos/?o = o. Done £

s'annule atix poles et Le long d'une serie de n mendiens sym£triques par rapport au plan xy et au plan bissecteur de Tun quel-

Fig. 30. Fig. 36 bis.

conque de ces fuseaux. G'est unc figure d'equilibre sectoriale {Jig. 36 bis).

Soit le cas general o <C p <C n. On a

(218 ) j = 3Xfl cos/>?.

Ml

Z s'annule a la fois sur une serie de meridiens et sur une serie de paralleles qui decoupent une figure d'equilibre tesserale, formant un veritable reseau, une sorte de damier, a la surface de l'ellipsoide, et ou la deformation est alternativement positive et negative a l'interieur de chacune des mailles.

78. Ellipsoides donnant d'autres ellipsoides. — Nous allons reehercher, parmi les figures de bifurcation des ellipsoides, celles qui donnent naissance a un autre ellipsoide infiniment voisin du premier.

Or, V etantle potentiel de l'ellipsoide primitif, A , le potentiel de 1 'ellipsoide deforme, ou de la nouvelle figure d'equilibre, ^ le potentiel de la couche sur elle-meme, on a vu que

Or, si la figure deformee estaussi un ellipsoide, V, et V sont tous deux, a l'interieur et sur la surface, des fonctions du second degre des coordonnees v, z. Dans ce cas, V0 doit etre egalement du