CHAPITRE VII. — FIGURES DEQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES
second degre. Mais on a
II Taut done finale ment que le prod nit de Lame R^MaN* soil une fonction de Lame du second ordre, e'est-a-dire 3 <C A' <C 9.
Parmi les cinq fonctions de cet ordre, determinees aux n()S 5(> el 67, il faut eliminer d'abord R;i et Rc qui sont divisibles par Pi,. II reste
R4=y/(p2 — //>){ p-i — c> ) R7 = p2 — xl: Rg=p2 — a2.
L equation du second degre qui donne a, et a2 peut, d'apres le n" 52, £lre mise sous la forme
On voit, par substitution, que a, est compris entre a- et fe2, el y.2 compris entre b- etc2, e'est-a-dire
Ces inegalites achevent de caracte>iser les nombresa, eta2 et, par c msequent, les fonctions R7 et R8, qu'il fautetudier, ainsi que R4.
Premiere solution : Ra == R/(. Nous avons alors R, Si R4S4
L'ellipsoide qui satisfait a ces deux conditions est a la fois de Maclaurin et de Jacobi. G'est l'ellipsoide de bifurcation E.
I)6terminons plus completement les donnees de la solution. On a ici
D'apres la discussion du numero precedent, on voit que Ton a p = n — 2. En effet, on a alors
pu. = F(is) = + *2) = K(p2 — = KRjj..
Le produit de Lame correspondant sera done
F(iV)t?(<)cos2cp on V (is) F(t)s\n 20.
II faut prendre sin2<p. En effet, on a R4 = R2R9. Or, en passani a la limite dans le cas de la degenerescence, on a, a an facteur constant ores,
Le produit de Lame R4M4N4 contiendra done yz, qui lui-meme. a la limite, contient cos cp sin© = ^ sin 29. On aura done finalement
15 , Mr, N4 = F(w)F(/) sm2<p.
Deuxieme solution : R*=:R8. II est aise de voir que Ton a, F etant la memcfonction que precedemment,
R8 Af,s Ng = I7 < is ) F t / ) cos 2 ©.
En effet, quand b lend vers c, la racine a, comprise entre 6- et cdevient e^ale a c- et Ton a
Rs = p2 — a, == p2 c? = |{, ,
II s'introduira done la meme fonction F (is) F(t), mais tandis que N4 tendait vers sin2©, ici N8 tendra vers cos 2 cp.
Ges deux cas, d'ailleurs, se confondent, car il suffit de faire
tourner les axes de^pour changer sin 2cp en cos 2 9. Ces deux
solutions donnent done le ligme ellipsoide.
Troisieme solution. : R* — R7. Nous voyons, par exclusion, sans avoir besoin de faire les calculs, que cet ellipsoide correspond au cas n = 2 et p = o, d'apres la discussion du numero precedent. II vient alors
K7 = A 1 — — = j M- = li — — — , N7= const..
as* at*
Pv7 et M7 sont des poljnomes de Legendre. La valeur de la constante est facile a determiner, car v devient egal a c et N7 se reduit
On peut, d'ailleurs, dans ce cas. obtenir facilement l'expression en x, y, z du produit R7M7N7 . II suffit de faire A2 = a, dans Fidentite fondamenlale. II vient
