CHAPITRE VII. — FIGURES DEQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES

79. Interpretation de ces solutions. — Pour savoir quels sont les ellipsoides de Maclaurin qui fournissent ces solutions, nous aliens chercher si les ellipsoides intiniment voisins sont de revolution ou non. Or, nous avons en tous les points de la couche, e'est-a-dire sur rellipsoide primitif \ 0 et sur l'ellipsoide derive VJ,

Y<> = \"o 4. V'o avec V° = A + B g2) -h C.

Pour Rfs = L\ 7 (troisieme solution), on a

vo= ci37>r7N-=: k'(— — — hz!±£: A

\a, — a- 3Cj — c- /

iilors V° pourra se mettre sous la forme

Le nouveau potentiel provient d'un ellipsoide de revolution.

II j a done un ellipsoide de Maclaurin qui admet une figure d'equilibre infiniment voisine, qui est encore de revolution, et cela en conservant la meme vitesse de rotation, comme nous l'avons admis. Reportons-nous a la courbe des ellipsoides de Maclaurin, "ii voit qu'il n'j a qu'un ellipsoide qui en admette un autre infiniment voisin avec la meme vitesse de rotation, e'est celui qui occupe le sommet de la courbe qui possede la vitesse de rotation maximum ( fig. i~, n° 19). En ce point, en effet, pour un petit emplacement parallele a Paxe des Z, la vitesse reste la meme et I'aplatissement augmente ou diminue suivant le sens du deplacement.

Le passage d'une figure a l'autre s'explique tres bien, d'ailleurs. en se reportant au cas p = o. Ici, on a n = 2, etlanouvelle surface coupe Fancienne suivant deux paralleles sjmetriques par rapport a L'equateur. On a encore un ellipsoide de revolution, mais plus aplati ou moins aplati que le precedent, selon le cas (Jig- 3^).

Pour Pi^ = i\ ; (premiere solution) ou R/f == R8 (seconde solution), l'ellipsoide nest [)lus de revolution. En effet, on a, a un facteur pres,

ft le potentiel resultant prend Pune des deux formes

Y» = A'./-? — B'(j2-f- -2) -i- G'yz -:- D', V? = B>2-f- C'.^2-H D'.

Ces potenliels ne peuvent pas provenir d'ellipso'ides de revolution.

Nous avons vu que B, verifiait l'equation des ellipsoides de Jacobi, el, par consequent, cet ellipso'ide ne peut etre que 1' ellipso'ide de bifurcation, commun aux Maclaurin et aux Jacobi, c'esta-dire Pellipsoide E.

Nous vojons, en effet, sur la courbe representati\ e des deux series, que si Ton coupe par un plan parallele an plan horizontal et silue un pen au-dessous de E, on determine deux ellipsoides de Jacobi et un de Maclaurin, qui viennent se confondre quand on se rapproche de F ( fig. 20 et 21, n° 22).

On voit que cette figure nouvelle correspond bien au cas p = n. lei 11 — 2, et la nouvelle surface coupe Tancienne suivant deux meridiens, en etant tangente a l'ancienne aux poles. La figure nest

Fig. 3;. Fig. ?>~ bis.

done plus de revolution, il apparait un axe b ^= c, alors que a conserve la memo valeur ; b — OB' et c = OC > OB' (fig. 3- bis).