CHAPITRE VII. — FIGURES DEQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES

Quan d on se deplace sur la courbc, dans le sens des / croissants 011 des aplatissemenls croissants, le premier ellipsoi'de de bifurcation que Ton rencontre est l'ellipsoide E.

Pour le montrer, nous allons demontrer d'abord que la fonction suivante F est toujours positive pour les ellipso'ides de Maclaurin de bifurcation :

Or, on a ici

P (ln-\-p ( r | s2 y

ds»+/>

II suffit de demontrer que le rapport est toujours croissant.

Or, R/f verifie l'equation (99) des fonctions spheriques. Muliiplions-la par 1 — • f2, remplacons t par is et posons clu — ^ *+.s* ' il vienl

— 7-r = R-i = r n ( n -■- 1) (1 -4- s- ') — p- ] R k I du- L v v

R , correspond an cas p = n — 2, on a done egalement

Preuons maintenant la derivee du rapport en question, on a

du

Le numerateur s'annule pour 5 = 0, car R',. et R4 contiennent s en focteur. La derivee de ce numerateur peut s'ecrire

Ri R4 — R R / = R /. R ■ J /i ( n -:- 1 ) — ( />'- -:- 2 ) + [ n ( /* -;- 1 ) — 6] s~ \ .

Or R/fR', est toujours positif, le crochet aussi pour /i>2 et /> n. Celte expression est done toujours positive. II en estde meme de la derivee du rapport. Ce rapport est done toujours croissant, ei la fonction F garde toujours le meme signe.

Or, pour p tres grand, on a, en ne considerant que les valours

M|o FIGURES D'EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

principales,

H, S, i R*Sj i R*S* i