CHAPITRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES
Faisons alors croilre p ou s, cc qui correspond a des aplatisse- R S
ments croissants ; la valeur — -— 1 traversera successivement les autres
valeurs, suivant l'ordre croissant des n. Toutes les solutions ainsi determinees et correspondant, par exemple, a n = 2, seront rencontrees avant celles do n ~— 3 et celles-ci avant celles de n — /\, et ainsi de suite, sur la courbe des Maclaurin.
Prenons n' = //, l'expression ci-dessus se reduit a p2 — p'-. On aura alors
si
/>- — y/'2>o, cTest-a-dire P < P-
Par consequent, parmi les figures de bifurcation du merae ordre, correspondant an meme /z, on rencontrera d abord celles correspondanl a p — /?, puis successivement les k autres
p = // — 2, p = n — 4? • • • • p = o ou p — I.
On sait en effet que, sur la courbe des Maclaurin, on rencontre d'abord 1'ellipsoYde E, qui correspond a n = 2 et /?— 2, puis l ellipsoi'de E0, de vitesse maximum, au sommet de la courbe, qui ( ■< >n cspond a n = 2 et p — o.
Si nous considerons des figures d ordre consecutif, on a
i t Ja condition pour que l'expression ci-dessus reste positive est
On ne peut rien dire sur l'ordre des figures qui ne realisent pas 1 ette condition.
Si Ton considere des figures correspondantes, c'est-a-dire }> p — f— 1 (com me par exemple p'~ n elp == n)) on a
el la condition est toujours realisee, car on a Par consequent, les figures correspondantes, d'ordre different, seront toujours placees sur la courbe dans l'ordre des n croissants et des aplalissements croissants.
Remarque I. — En etudiant plus haul les cas de degenerescence a\ec a — fr, ellipsoide de revolution allonge, on a obtenu
n ( n -!- \ )a- -+- II = p-(a- — c- ). el lequalion de Lame pent s'ecrire, dans ce cas,
R" = [n(n + i) (p2 — «2) -+- jt>*(«2 — c2)] I».
Oil
L'expression considered plus haul pour Pi/.Il, — R;Rjt serait toujours positive pour u'^>ji. Or, les ellipsoides critiques de Jacobi se rapprochent tres rapidement des ellipsoides de revolution allonges. De plus, il n'j a qu'un ellipsoide critique correspondant a chaque valeur de n. On peut done dire qu'ils seront rencontres egalement sur la courbe des Jacobi dans l'ordre des n croissants.
Remarque II. — En traitant le second cas de degenerescence, e'est-a-dire b — c, ellipsoides de revolution aplatis, suivant les indications donnees, on trouve
d ou Ton deduit
au lieu de -f- />- dans le premier cas. On en deduit, en remplacant II par celte valeur,
e'est bien la memo expression que celle indiquee ci-dessus.
Remarque III. — Pour 71 = 4 et /) = o, on a la premiere figure a cannelures. L'ellipsoide de revolution se creuse suivant deux paral-
