MM'EM.. — IV
( )n a deja vu quo si le rapport ~ varie toujours dans le m£me sens, c'est-a-dire si \\ , est divisible par R, , la premiere equation nepeut pas avoir de racines, ee qui reduit a f\ les 8 formes correspondant a ehaque valeur de n.
De meme si le rapport — varie toujours dans le m£me sens, la seconde equation n'aura pas de solution. II faut done exclure ces cas parmi les quatre formes acceptables.
Soit 11 pair et la premiere forme
Le poljnome /(p2) a toutes ses racines reelles et comprises entre a- et c- . Designons par a la plus grande racine de f(p- ) nous pouvons eerire
y( p2 ) ~ ( p--2 — a) ( p2 — a | ii p- — a2) . . . , R s ,'= \\ p2 — b- ) ( p- — c2 )
et
Or, les deux premiers facteurs sont conslamment croissants. L'expression liomographique — ~ = i — ~ — est constamment
eroissante, puisque a ,> c2.
II en sera de me'me de ~ — 4~ ) si Ton a a "> 62.
Pour que /(pL> ) convienne, ilfaut done que sa plus grande racine soit inferieure a 62, c'est-a-dire que toutes ses racines doivent etre comprises entre b- et c2.
Or, M. Klein a demontre que, parmi les k I polvnomes d'ordre 7i = ik, il j eu a toujours un et un seul dont toutes les racines sont comprises entre b- et c2. Les autres poljnomes ont successivement i, 2, 3, .. k racines comprises entre a- et b-. On pourra consulter a ce sujet une interessante Note deja citee de Stieltjes (OFuvres completes, t. I, ou Acta mathematica, t. VI, 1 885).
II y aura done toujours un poljnome 11= /(p2), et un seul, qui \erifie l'equation de condition et donne un ellipso'ide de bifurcation.
La seconde forme
