FIGURES D EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES. I

Ce rapport va toujours en croissant et ce type ne fournit pas de solution.

Soit n impair, on a egalement a considerer deux formes. La premiere donne

\lais on a a >> c2, la fonction homographique du second membre esl toujours croissante etle rapport aussi. II n' v a pas de solution. La derniere forme

\ c-fi?- )

donne

:, tt> P2— °0(p —

II faut encore que Ton ait ce<C&2, c'est-a-dire que toutes les racines de f(p'2) soient comprises entre b- et c2. Le theoreme de M. Klein etablit de meme qu'il n'y a qu'une fonction de Lame remplissant ces conditions.

En resume, parmi les 2ii-\-i fonctions de Lame d'ordre n, que n soit pair ou impair, il y a toujours une fonction et une seule telle que R/, satisfasse au systeme (220) et donne un ellipso'ide de bifurcation. II y a toujours un point de bifurcation, et un seul, pour chaque valeur de n.

Ces conditions sont suffisantes. Si elles sont remplies, il y a uecessairement des solutions. En eflet, considerons de nouveau la fonction F donl les racines sont solutions du systeme (220)

Paisons varier b- de a2 a c3. Pour b- = a2, l'equation (1) de (219) donne p2 = a2 et 11 - S , = o. Alors on a F<o, car RAS/,>o. Pour 62 = c2, on retombe sur le cas des ellipsoides de Maclaurin, el Pon a vu (n° 80) que Ton avait alors F>> o. L'equation a done au moins une racine el le systeme une solution. LiapounofF a

igG FIGURES d'equilibre d*une masse liquide en rotation.

dcrnontre qu'il n'j avait qu'une racine et qu'une solution, dans son Me moire Sur la stability des figures ellipsoidales ( 1 884) •

Pour chaque solution du systeme (220), c'est-a-dire pourchaque valeur de il y aura done un ellipso'ide critique et un seul. Nous allons etudier les plus simples.

<S2. Etude des figures voisines des Jacobi. — Pour n — 1 , il n'y a pas de solution. Pour n = 2) nous avons trouve l'ellipsoide E, commun aux Maclaurin et aux Jacobi. Nous etudions done d'abord n = 3.

Dans ce cas, n est impair, doit etre de la forme

Quelle est la forme de £? En remarquant que est une constante sur l'ellipsoide, nous pouvons l'£crire

Nous avons d'ailleurs

M/- = y ;j.2 — c- (;x2 — oc), N/- = y V? — c-(v2 — a) ;

d'ou

Or, le radical est egal a le reste donne une expression du second degre d'apres ( 1 22), et Ton a

Pour avoir le signe de £, il suffit de considerer Fintersection de noire ellipsoide avec le plan z . = o, qui le coupe suivant une ellipse principale et avec la surface

qui est un hyperboloide a deux nappes, car on a c- < a < 62 et, par consequent, a — a- <oeta — 62 < o. L'intersection de cette quadrique avec Ox el avec Oy n'est pas reelle. L'expression cor-