CHAPITRE VII. — FIGURES D EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES. y.oi
senlons {fig. 41 bis) la premiere surface telle que l'a donnee schema tiquement Poincare dans ses Lecons, p. 162. Cette surface
Fig. 41 bis.
a 6te comparee a un haltere. Elle est dite positive. Elle est en realite plus allongee que ne le pensait Poincare, comme onle verra an numero suivant.
lei encore, Darwin pense que si la vitesse de rotation augmcntait, les concavites se creuseraient et que la masse donnerait naissance a deux satellites.
Cas general. — Ces deux cas n = 3 et n = 4 nous fournissent les deux types prineipaux de figures critiques d'equilibre, qui se retrouvent dans tons les autres.
Lorsque /? est impair, la figure n'est pas symetrique par rapport au plan xy et le changement de e en — £ donne la meme figure, ay an I tourne de 180° autour de Ox.
Lorsque n est pair, il y a symetrie par rapport au plan des xy. De plus, les deux figures correspondantes pour c <o et e >> o sont distinctes reellement 1'une de Fautre.
II est probable, comme on l'a deja dit, qu'a chaque valeur de n correspond un seul ellipsoide critique. On voit que chaque fois que n augmenle d'une unite, il s'introduit l'expression d'un nouvel h vperboloide a deux nappes dans l'expression de t et un nouvel Strangle m en t dans la figure d'equilibre.
Remarque. — Pour se rendre compte de ces conclusions, iln'esl p;is necessaire de recourir a la consideration des hyperboloides a
my>. FIGURES D^EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
gleux nappes. En offel, dans le cas general, on a
p = sR,\I,\,
avec
r,=Ap2); H**fiv*k N^/(v»)
ou
Or les poljnomes / ont lours racines comprises entrc b- et c- . Com me on a
c2 < v2 < h- < tx2 < «2 < p2,
on voit que seul peut s'annuler. Or, les courbes const, et v = const, reprSsentent les lignes de courbure de l'ellipsoide, celles des /jl entourent le petit axe et celles des v le grand axe. Enfm,dans le cas ou n est impair, parmi les v on a v- = c2, qui represente l'ellipse du plan xy.
Nous vojons alors que t ne peut s'annuler que pour N* = o, e'est-a-dire sur les lignes de courbure des v, racines de = o.
Done, si n est impair, on aura d'abord sur l'ellipsoide L'ellipse principale z = o et en posant n == 2 k + 1 , on aura encore k lignes de courbure au-dessus et k au-dessous qui donneront alternativement des regions avec le signe -f- et — et Ton aura comme section une courbe ondulee, non symetrique.
Si n est pair, n = aAr, il y aura k lignes de courbure au-dessus du plan xy et k au-dessous et symetriques, qui fourniront une figure symetrique par rapport au meme plan.
83. Calcul des elements des ellipsoides critiques a trois axes. —
Les calculs des elements des ellipsoides de bifurcation el des figures voisines qu'ils engendrent ont ete faits d'abord par G. H. Darwin pour la figure piriforme, par une methode longue et compliquee ('). Darwin donna pour la premiere fois la forme exacte de la figure piriforme, qui est plutot ovoide et dont les sections principales n'ont pas de points d'inflexion.
(l) Scientific Papers, p. 188; Philos. Trans, of the Royal Soc., I. 198, A. 1901, p. 3oi-33i.
