CHAPITRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES
Liapounoff, dans la troisieme partie de son M^moire ('), a donne iinc methode do resolution numerique plus simple el plus pratique. II a calcule les elements des figures d'ordre n — 3 et n = 4 sans donner ces figures elles-memes.
P. Humbert a repris la question et etendu les calculs aux figures de Poincare d'ordre 5 et 6 (-).
Notations. — Pour determiner les jacobiens critiques, nous avons les deux equations
... R,Sj RiSl nksk
el nous savons qu'il n'j a qu'une valeur de k pour chaque valeur de n. Ces deux equations pourronl servir a determiner les rapports des trois axes et par consequent la forme exacte de la figure. En leur adjoignant liquation qui definit la conservation de la masse on du volume, on en determinera les dimensions exactes. Designons les axes par A, 13, C; on a
l axe des x etant l'axe de rotation.
[Am des quatre parametres p, a, 6, c est arbitraire pour definir les trois axes. Poincare prend c = o, d'ou G = p, ce qui simplifie l>eaucoup tous les calculs theoriques et pratiques.
En faisant de plus a — i , on reduit les parametres a deux et les formules auront l'a\ antage de s'identifier immt§diatement avec les tormules de degenerescence, quand on passera aux ellipsoides de revolution ou b = c et B = C.
Liapounoff particularise egalement deux parametres en ecrivanl ['equation de Fellipsoide sous la forme (a 19)
(]) Sur les figures d'equilibre pen diffe rentes des ellipsoides > Saint-Peters bourg, 1912.
( ) Sur les surfaces de Poincare, These, 1918.
Les axes sont alors
il est facile de les identifier avee ceux indiques ci-dessus en pl ena nt
Darwin, an contraire, introduit J'equalion de la masse par la condition ABC = i . Praliquement, les calculs numeriqucs sont alors beaucoup moins simples qu'avec les notations precedentes. Dans les calcnls qui suivent, nous conserverons autant que possible la notation symetrique a quatre parametres, pour n'inlroduire les simplifications qu'en dernier lieu.
Solution approckee. — Darwin a remarque que les ellipsoides critiques se rapprochent tres vite de la forme d'ellipsoides de revolution allonges. On pent en profiter pour trouver une premiere valeur approchee des axes. Les fonctions R et S deviennent les fonctions adjointes de Legendre de premiere et de seconde espece
X; et Q;;.
Pour les premieres de celles-ci, on n = i elp—i, on a les expressions connues
K, = aXj = ^T^Tu
A \ est donne par la formule generate (io5), et il suffit de faire h — a dans l'expression generale de S pour retrouver la valeur de 0!. On a
Ri = V ?- — <*-, D'2 = ( P2 — «2 )2 ( p'2 — c- )j
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