CHAPITRE VII. — FIGURES D EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES. 2o

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RiSj /— r pa — a- . Jo- — c'-hi/a2 — c-

En introduisant les simplifications c = oeta = i, on a enfin

(226) 2HF =,p — j(p2 — OLA^ =2X:jQ{.

C'est bien la meme valeur que celle du produiiX] Oj.

La forme unique Ra, correspondant k n, devient un polynome de Legendre XJ on X„ d'ordre n ou p = o. On a de plus, avec les simplifications introduites et b = a,

D = (p- — ft-) \ ;p- — c'2 = p(p2 — 1).

L'expression Sa devient alors

S* p C° ?d? -y f x do + i Jp RfD Vp XKp2-i)'

C'est bien l'expression de la fonction de Legendre de seconde espece, qui peut s'ecrire, pour p — o,

(22:) On = I X„ L £-±1 - Fn!;= ,

ou F est un polynome de degre n — 1 , dont on a donne differentes expressions.

Pour 71 = 3 et /i = 4? °n a

!RA=X3= |( a?2— 3), F,= i (iop2— 4),

R/t=Xv = I(35p*— 3op2+3), F3= —0(210*-- 11). o 24

Dans le premier cas, pour n = 3, en portant les expressions cidessusdans (223), on oblient pour les valeurs approchees p- = 1 ,227 au lieu de 1,1 35, et avec la condition ABC = 1 on a

alors que les \ raies valeurs seront

»o6 FIGURES D EQUIL1BRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

Dans le second cas, pour n = f\, on obtient p2 = i,o85 an lieu de i ,04 1 el

au lieu de

A = 0,60 j B = o , fU). C = 2,36.

Remarque. — D'ailleurs, pour des valeurs assez grandes de 71, l'expression Xn Q„ pent s'ecrire approximativement d'apres ies calculs de Laplace

a- COS(2/l-4-l)0 , a

(228') XnQ„ = - > cll0 = O.

el les tables des fonctions hyperboliques de l'Institut smithsonien <le Washington permeltent de rdsoudre l'equation obtenue.

D'ailleurs, l'equation de condition ( 22.3) et la valeur approchee de R, S, dans (226) nous donnent iei

X„Q„= = X]Qj = const.

De plus, pour des valeurs croissantes de ?i, la valeur deo = ch9 tend vers 1. 11 en est de meme du cos (2/1+ 1)8 dans X/;Q„. En appliquant alors la formule ( 228') a deux valeurs successives de /?, on obtient la formule de recurrence tres simple (')

Pour 71 = 5 on obtiendra p2 — 1 ,02899. On ei1 deduit la valeur p2 — 1.0207, exacte a moins de 0,001 pres, puisque la vraie valeur est 1,0200. On aura done certainement, avec la meme approximation,

■■ G o p2 =1,015, p§ = ijOii, — = — 9;fio.

VP' — 1

Pour n == 8, le grand axe est deja pres de 10 fois plus allonge que le petit axe.

Valeur approchee de b. — Gette premiere solution approchee p , , obtenue dans 1'hypothese d'un ellipsoide de revolution allonge,

(1j P. J I um bert , Comptes rendus, t. HO, 1920, p. 38.