CHAPITRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES
Si I on pose
{i2S) II = DP = K(p2)-h Ik(a») = K(p2)-H- ^ K(i),
on obtient
2/1 -bl DP
les derivees elant prises par rapport a p2, on par rapport a p dans la notation de LiapounofT.
[. expression R„ Srt est exprimee an moyen de la senle fonction H, qui exprime la valeur de l'integrale S„ pour la valeur particuliere correspondant aux ellipso'ides critiques de Jacobi.
La fonction K dans H peut d'ailleurs s'ecrire
-Ada.- ?2— a< R2(a<)
oii H ( %i ) est la derivee de R„ par rapport a p2, ou Ton a fait ensuite f.,. Pour 71 pair, n = 2/1, on
\* = <xi. rour ;i pair, n—2.K, on a
MO K// = ( P2— 3ti)(p2 — a2). . . (0-— a*)
el
R„ == VP*— c2(p2 — a'j ) 1 p2 - a2) . . . (p2— ayfc),
pour // impair, n = 2 A : -f- 1, ou Ton pent faire c = o. On aura alors
jj ^ia* 1 1 1 1 1
AJSl p2— cct K'-( a, ) " 2 ZUaL l —
^^/; ps-H 2 — o a/ 1 Ada. 2(p2— az)(i — a,-) IT- (a N
II suffira done de determiner les racines a* de R„ pour obtenir If 1 la valeur correspondante de S„.
Remarque. — LiapounofT et M. I\ Humbert donncnt des formules diflferentes pour le cas de 11 pair ou impair. Mais les expres-
sions plus compliquees donnees par M. 1\ Humbert pour n impair peuvent s'ecrire simplement
en posanl
ft» = VP2— c2(p2 — ai) . . . (p2 — y./,) = V/p2— c2^/t-i- On obtient alors, en prenant lcs derivees par rapport a p2
IV = — 1 T + \Jf~&T',
en faisant ensuite p2 — a* et c = o, il vient
T =5 O Ct OLt T'2 ( tXi ) = R'2 ( x2 ).
La formule (240') est bien donnee par la formule generale (240).
Figure pirif or me ou ovoide n — 3. — On a, en faisant c = o,
L'equation difFerentielle qui determine R peut s'ecrire, H etant ici une constante,
(243) A ®^ = A2R"+ AA'R' = -f- i)p2-f- HJR3 avec
A2= (p2— «2)(p2— 62), AA' = -(A2)' = 2P3— '.(o»+ 62)?.
On a
Ges valeurs doivent verifier identiquement l'equation differenlielle ci-dessus quel que soit p. En egalant a zero les coefficients de p2 et le terme constant, on obtient
II = 10 a — 9(a2-f- b-): — aH = v\a-~- b-) -;-6«262, d'ou l'equation qui donne a
