CHAPITRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES. >.l

On pout obtenir plus simplement cette expression en remart j 1 1 a 11 L que l'expression (221) du numero precedent, qui donne la valeur de la deformation £ de l'ellipsoide, est un produit de Lame, qui doit verifier l'equation de Laplace A \r = o

A\ '4 —^-Tt H — H — )

En annulant le crochet, il vieni

5 y.- — 2(2 a- -1- ib- H- c- ) a + 3 a2 -+- 62 h a'2 c2 -f- &2 c- = o.

En t'aisant c = o on retrouve l'expression (240). En faisant enfin a — 1 , on a

Cette expression donnera une valeur approchee a, de a enfonction de la valeur approchee bx trouvee plus haut.

On a ensuite, en remarquant que l'expression R/(a) de K(p2), formule ( 240), est la derivee de R par rapport a p'2, ou Ton a fait

, dK dR v —j dp- 2 p dp 2 p '

(Ton

«?(«)=*«■ K(p2)=-TFl-),

11= , :+ , 1 „ ir=-i__.

On a done

II ~~ ( p-— %)( p--h — 3a)'

On obtienl encore

\)i d at— a* ' o'-—b- p2 — c- p 2 — 1 ' p2— /r2

i'ou, pour l'expression qui donne I \ S ,

2l4 FIGURES D EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

Ges expressions portees (Jans (23g) permetlront de calculer une premiere valeur de G, correspondant a p, , 6, et«f.

Remarque . — LiapounofF dans sa notation ecrit

p2 — c1 on p2 esl remplace par p 4- i . Pour identifier avec lexpression de R en a, il faut remplacer ici p par p2 — i . On aura

Gelte formula donne la valeur des expressions h de LiapounofF en fonction des racines a de R. On obtient alors

\79' pJ ~ P ^ ? q p-f-i • (p + A-)(p-+-3A)'

C'est l'expression donnee par LiapounofF pour la fonction J qui remplace R„ Sn, sauf qu il la donne sous la forme compliquee J au

lieu de cette forme plus simple ~ •

Par des approximations successives il a obtenu

ce qui correspond dans la notation de Poincare a

o , 923 087 < 62 < q . 923 092 On peut prendre pour valeurs exaetes b- — 0,9281 et pour les axes

On en deduit au.moyen de (245') la valeur

Les elements de l'ellipso'ide de bifurcation, qui conduit a la figure piriforme, seront

s = ~- — o. 1189. / = ~ = o.G3Gi;

Kj- l>-

ou, en prenanl le grand axe G comme unite, les valeurs des deux