CHAPITRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE V0IS1NES DES ELLIPSOIDES. 2l

a ut res axes sont

Cet ellipsoide de bifurcation est deja tres allonge, puisque I'axe de rotation n'est que le tiers du grand axe et I'axe moyen moins de la moitie du meme axe.

En introduisant la condition de Darwin relative an volume, ABC = i, les nombres de Liapounoff donnent, avec quatre decimales exactes,

A. = o,65o7, B = o,8iao, G = i,8856.

Les calculs de Darwin donnent les memes nombres, qui ne different que par la quatrieme decimale dans C— i ,8858.

Determination du second ellipsoide de bifurcation n = /\. — On a

(, •> 'm \ Kn = ( p2 — a i ) ( p- — a2).

Comme il n'y a pas de radical, ilsera plus simple ici de prendre les deriv£es par rapport a p2. On peut alors simplifier l'equation dillerentielle de R.(a43) en remplagant A par ?. On pourra ecrire

B5i) D ~ ^ J ) ~ ^ = 4 D2 R" 2 ( D2 )' )V = [ n ( n i ) p2 -j- H ] R , les derivees etant prises par rapport a p-. II vient alors

D2 = ( p2 — 05* ) (p2 — &2) (p2 C2) = pS g p V H p p2 (D?)' = 3p*— 2Sp2-+- P.

eo posant

S = a- — 62 -f- c2, P = a-b'-r- b-c--- a'2c-, R = a-b-c'1. On a ensuite

a2)p2-+- Xi aj = p' — sp2+ /*, (a, -|- a.,) = i p2 — f, R"= 2, s = a i -i- a2 , /• = 2| a.,.

Inequation differentielle (261) devient

8 ( pe — S p* -:- P p2 — Q ) — 2 ( 3 p* — 2 S p2 — P ) ( 2 p2 — .? ) = (->op2-i- H)(p* — *p2-+- r).

2l6 FIGURES DEQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

En annulant successivemcnt los coefficients de p', p2 et le term* constant, on obtienl

/ II i \ s — i(iS.

, 2 53 i • It H = 20 /■ — 4 S .s — 12 r.

I rH = — >|».s 80;

( (7* — 8S)r= — (P«H-4Q), ,',Ji) I 7.s^(iS.v = ior — 6P.

[-.'elimination deH et de r donne la valeur des par une equation

(lu troisieme degre

( 2 -, \ ) 49 .?* — 98 S 52 - /, , 1 2 S2 + 1 3 P ) s -h 8(5 0 — OPS) = o. Pour les calculs numeriques on fait ici c~ o et a = 1, d'ou

S = i-h^2. P = Q==o; (254') 49$3— 98(1 H- 62)s2-{- 4(12 - - l-b1 — rs.O'' )s — 4869-(i -:- 62) = o.

Cette equation determine s, connaissant b. puis Tune des equations (253') determine /'. On obtient ainsi les racines a, et a.2 de R„.

La solution approchee doit etre portee dans Fexpression G. U faut determiner S/0 e'est-a-dire H. On a ici successivemcnt

R'<«i) =— R'(a2) = «!— «2, R'2(ai) = (*j — = 4 r,

K(p2)==(a,— V?2— a, ' p2 a2/ - (ai — a2)s .R On tire de ces formules les valetirs de H et H' (R'=a) :

II = (W 1 *l\

(ai a,)2 \R 2 R 1 /

~(a,— y.,Y\\-' II ~ R 2R1R,-H ftft* 1

ou R 1 et R, sont les valeurs de R et R' quand on y fait p- a- — \ :

Ri = (1 — a2) (1 — 7.1 ). R', = 2 — (a, h- a.2 ).

Dans la notation de LiapounofF, on a

( R«= (p h- Ai)(p —