CHAPITRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES
( )n oblient alors la formule ci-dessus de H, ou R, etR^ sontremplaces par r et s' .
Le signe dc G permettra dc determiner line autre valeur p2 de p de manic-re a avoir p, << p <' po et ainsi de suite. On calculera de meme des valeurs de plus en plus approchees de 6, de s et de r. LiapounolF trouve ainsi, avec ses notations,
Nous pouvons prendre les valeurs
0 = 0,0710, cj — o,023(5, $'.= 1, 1 534, r' = 0,2370. On obtient, avec les notations de Poineare.
a 1 -f- y.., = o , 8466, Kj a2 = o , o83G,
ai = 0.1142. ao = o,7324.
( hi a alors, pour les axes de l'ellipsoide de bifurcation rapportes an grand axe,
Le petit axe n'est que le quart du grand axe etl'axe mojen n'en Bsl que les trois dixiemes.
Remarque. — L'expression differenlielle (26 1 ) qui determineR peut s'ecrire, si l'on fait p- = a,, d'ou R = o, les derivees etant prises par rapport a 0- }
D'(af) R"(«/)
D2R"i-(D2)'ir
D(a,-) ' R'(ai)
el l'on aura autant d'equaiions que de racines a dans R pour le; determiner, e'est-a-dire /« . On voit facilement que Fcxpression cilessus peul s'ecrire pour n pair, n = 2 /, .
(2J7) — h 1 = o (a;p^af).
ou y prend toules les valeurs de 1 a A , sauf
2l8 FIGURES D EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
Pour n impair, n = 2 A -f- en mettant 11 sous la forme
et derivant par rappor t a 0-, on ohlient
Mr •
En faisantalors p2 = a/, d'ou T= o, il vient
WW) == J h T^Cffj
R'(a,) a*— c3 ' T'(az)
et P expression (256 ) peut s'ecrire
y.; — c- — «j — ay 7
On voit facilement que toutes les expressions calculees sont de
eette forme.
Calcul de V ellipsolde critique n = 5. — On a
R „ = \ p2 — c- ( p2 — aj ) ( p2 —a.,) = p ( p2 — a,)(p2— a2 ). Les equations qui determinent a, et a, sont alor^
— tt2 a 1 — 6 2 Kj — c2 a 1 — a., 11 3 "4
3c2 — a- a2 — b- a2 — C2 a2 — aj
011 l'on fera c == o et a = 1 .
La derivee de R par rapport a p2, 011 l'onfait 0-= a,-, donne
R'2(af-) — (aj — c2)T'2(a,-) = (a,- — c2)(a, — a.,)2. On peut faire maintenant c == o, on a
R'2(«i ) = 7.1 (a, — at.,)2, R'2 ( a., ) = a2( ax — a2)2. ( 258) K(p« 1 = ! ; \—4 , - J •
( al a2) Lal (P a* ) a2Vp a2) J
