CHAPITRE VII. — FIGURES D EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES
tangente an grand axe. Gela aura lieu quand on aura
Y ; y' dX
\ = o ct X = —7- = o, clz
Fig. 4'| a, 6, c, d.
La premiere condition domic
v jo FIGURES D EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
La seconde condition, en tenant compte de la premiere, se reduit a
dx>1 * , , / l N 4 » 1
—j— = o, z* — 2p4,Z2-+- (on-h «a)P* — aja.,p2 = o.
II j a une valenr de z plus petite que i qui convient seule. En la portant dans la formule ci-dessus, elle donne la valeur limite de £0- On obtient
3? =dzo:7o84, \ = i,373.
Pour qu'il y ait rupture, il faudrait que l'allongement a l'extremite du grand axe depasse la valeur du grand axe lui-meme de plus d'un tiers. La deformation serait trop considerable et ceci montre que, meme dans le cas de la figure positive, on ne peut donner a £0 que des valeurs tres petites pour rester au voisinage de la realite. Le maximum de t dans le renflement de la partie mediane serait alors £m = 0,908^,, 011 o, 1247.
En donnant a z diflerentes valeurs entre o et C on obtient les valeurs correspondantes de £ qui permettent de construire la courbe dans le plan xz :
0,8 0,9 1,0 0,082 0,120 1.0 o,oo55 0,0079 o. ()<)()
La premiere ligne donne la valeur de z, la seconde celle de t par rapport a £0, la troisieme celle de Cpour la valeur limite de t0 dans la figure negative et la quatrieme celle de t pour la valeur limite de £0 dans la figure positive. Les zeros de £ ont lieu pour z{ = o,338 et Zo — o, 856. Les courbes des figures 43 et 44 representent a peu pres les sections pour les valeurs de la troisieme ligne, c'est-a-dire la limite de la figure negative. On voit par la derniere ligne que l'allongement considerable de la figure positive a lieu surtoutpour les valeurs extremes de z entre 0,9 et 1.
= 0,006 o,oo38 0,0021 0,0081
CHAP1TRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES. 23l
Les < cilculs numeriques des ellipsoides critiques de revolution se font plus simplement et plus rapidement quo ceux relatifs aux ellipsoides a trois axes. II suffit d'omploycr les formules analogues a i dies qui nous onl donne la solution approchee, en considerant les ellipsoides a trois axes comme des ellipsoides de revolution allonges.
Nous avons remplace la condition
U,S, = Ra-Sx- ') 2 n -+- 1
par
Ici nous avons en general
ou I on doit faire dans le resultat
cm hien. avec les notations simplifiees.
Nous anions done en somme
p dc
O! - V f)/' OP — X'' I ? ?
1 ht~ '1 (X£)2D
ou /i + doit £tre pair.
Pour ti = 3 et f) = 3, on a trois meridiens symetriques d'interlection de la figure infiniment voisine avec l'ellipsoide. On obtient line figure qui partage 1'ellipsoide en six fuseaux, formant alterna- Livement des depressions et des renflements d'un pole a l'autre, comme les cotes d'un melon. II est curieux de retrouver sur le globe terrestre la trace des memes deformations : les depressions nord-sud de l'ocean Pacifique, de l'ocean Atlantique, de l'ocean (ndien avec la mer Caspienne, les renflements de l'Amerique, de l'Europe et de l'Afrique, de l'Asie avec l'Oceanie.
Pour n — 4 et p = o, il y a intersection de deux figures suivant deux paralleles symetriques par rapport a l'6quateur. Quand on aura determine o par I'equation ci-dessus, ce qui donne le rapport
des axes de l'ellipsoide critique, on obtient les valeurs de y.x et a2 qui delerminent la position des deux paralleled d'intersection, par les memes equations (253') determinees plus haut pour n — /j. II suffit d'y faire
b = c = o, d'oii P
On en deduit
puis
Z\ = do fi | = o . 507, zt — ± fi-i = o , 94 1 .
L'undes paralleles correspondra an milieu de l'axe equatorial et l'autre presque a l'extremite de cet axe. On obtient un renflement aux deux poles et un sur le cercle equatorial, avec deux depressions circulaires, symetriques par rapport a l'equateur et comprises entre zx et z2. Les deux depressions circulaires en se creusant pourraient se rejoindre, en detachant un anneau equatorial, au lieu des deux satellites que donnerait la figure n = 4 etudiee ci-dessus. Ce serait le cas de l'experience realisee par Plateau, par la rotation d'une sphere d'huile {fig. 38, n° 80). Mais, dans l'experience de Plateau, il faut tenir compte de la tension superficielle. Ce sera l'objet du Ghapitre IX.
Pour le cas n == 2 et p = o qui determine un autre ellipsoide de revolution voisin, la valeur de a qui donne la position du parallele d'intersection sera donnee par la formule
ou Ton fera b = c = o et a — 1 , ce qui donne pour Intersection
L'ellipsoide critique est l'ellipsoide E„ correspondant a la vitesse de rotation maximum. Son intersection avec l'ellipsoide voisin se fera sur le parallele ou l'anomalie excentrique / est donnee par
sin2/=^, U — 35° i5'5i".
Or, on peut voir qu'il en est de meme pour tous les ellipsoides de revolution, qui derivent d'un autre ellipsoide de revolution par
