CHAP1TRE VIII
Cette question de la stabilite des figures d'equilibre que nous venons de determiner est loin d'etre encore completemenl eclaircie. Thomson et Tait, dans leur Natural Philosophy (t. I, 1879, 2e edition, Cambridge), ont fait de la question generale de l'equilibre une discussion interessante qui servira de base a notre etude.
85. Cas des systemes conservatifs. — Considerons un systeme materiel dont la position depend de n coordonnees qK , q2, . . ., qn. Nous supposons que le systeme est sollicite par des forces qui dependent seulement de la position du systeme, ce que Tait et Thomson appellent des forces positionnelles, et que ces forces derivent d'une fonction de forces V(q{ , q2, . • . , qn)- On a alors ce qu'on appelle un systeme conservatif.
La demi-force vive T a pour expression, dans ce cas,
(1) T = i'Sm(^ + /*+ z'2) = l-Zkikq'tq\ (A,* = A,,).
ou les coefficients A/a dependent des q. Les equations generales du mouvement ont ete mises par Lagrange sous la forme classique
(2) dtydq't) dqt" dqt
Les positions d'equilibre s'obtiennent en egalant a zero les derivees partielles de U. Les equations d'equilibre sont precisement les equations qui expriment que la fonction U est maximum ou minimum. Ges conditions sont necessaires pour le maximum ou le minimum, mais elles ne sont pas suffisantes.
Si U est reellement maximum, dans une certaine position, c'est la une position d'equilibre stable, quelle que soit la nature de ce maximum, c'est-a-dire quel que soit l'ordre de la premiere derivee paire, qui ne soit pas nulle. Ce theoreme, enonce deja par Lagrange, a ete demontre par Lejeune-Dirichlet etporte son nom.
D'apres des recherches plus recentes, on peut completer ce theoreme en disant : Pour que V equilibre soit stable, il faut et U suffit (jue U soit maximum. On demontre en effet que, si U n'est pas maximum, l'equilibre n'est pas stable.
86. Petit s mouvements autour d'une position d'equilibre. — Nous supposerons, ce qui ne restreint en rien la generalite, que, dans la position d'equilibre etudiee, tous les parametres q sont nuls et que la valeur U est egalement nulle, c'est-a-dire
Bornons-nous au cas ou les derivees premieres de U s'annulent dans cette position d'equilibre sans que les derivees secondes soient nulles. En developpant la valeur de U, on obtient
U = ^(*n + **\-iq\ ^2+ 2^3^ c/s-h. . .)+ U, = 1-X<x.ikqiqk-h U4,
U, contenant les termes en q de degre superieur au second.
De mcme, en developpant en serie, on obtiendra pour la valeur de T
A tk = aik -h q , ^£ + . . . , T = - 2 citk q[ q'k~+-Ti (aik = const. ), oq.\ 2
ou T, contient des termes en qy q', mais de degre superieur au second.
En supposant l'equilibre stable, nouspouvons negliger!^ etT<, dans les equations des petits mouvements, car alors les q et les q restent toujours tres petits. Nous pouvons done reduire U et T a leur premier terme et ecrire
U = l-Zaikqtqk, T = \ ^"ikqW/ci
I el T sont alors des formes quadratiques a coefficients constants. Pour eviter de trop longues ecrilures, nous eflfectuons sur les
variables q la substitution lineaire suivante :
q\ — Cn/?i-h cnpt-t-. . .-+-clnpni q% = c2, /?! ■+- c2ip2-h. . . -h c2„/>/t,
<7« = c„2/>2-H. • .-+- cnnpn,
ou les c sont de nouvelles constantes. Les se trouvent egalement transformers par la meme substitution lineaire en fonction des p .
Or, etant donnees deux formes quadratiques, on peut les ramener a une somme de carres par une m£me substitution lineaire. Determinons la substitution par cette condition, alors L et T prennent la forme suivante, ou nous remettons q en place de /> :
(3) T = iy?+?'2a + . ..+ ?;?), U = ^(«i^?H-«2^-i-...H-a„^)f
Le systeme etant conservatif, on a
dT = dU ", T — U = const.,
ce qui donne une int£grale du mouvement.
Pour avoir les Equations des petits mouvements, nous n'avons qu'a ecrire les equations de Lagrange correspondantes, qui sont
(4) q"\ = z\gn 02 = a*£u •••• q"n=*nqn-
Elles s'integrent immediatement Nous distinguons alors deux cas :
i° Tous Jes a sont negatifs. Alors toutes les equations n'ont, comme integrate generale, que des sinus et des cosinus. Le systeme s'ecarte tres peu de sa position d'equilibre. Dans ce cas, l'equilibre est stable :
qi = A sinrti t -+- B cosciit (y-i= —
2° Quelques-uns des coefficients <x sont positifs. Alors les parametres et les vitesses correspondantes peuvent croitre indefiniment avec le temps. L'equilibre est instable. Par exemple, si Ton a£3£,>o, l'intcgrale generale de la premiere equation sera
q^ prend done des valeurs de plus en plus grandes. Les equations
memos no s'appliquent plus, puisqu'on a suppose les parametres q Ires petits.
On pent distinguer d'ailleurs divers degres d'instabilite : le degre d'instabilite du systeme est le nombre des coefficients a qui -out positifs. Si an seul parametre est positif, cette instability sera du premier degre. Si tous les coefficients sont negatifs, on pent dire que Tinstabilite est do degre zero, e'est-a-dire qu'il y a stabilite.
Considerons, par exemple, un point M mobile sur une surface. Si le point se trouve au fond d'une calotte concave vers le haut, il y aura equilibre stable. Si le point pesant se trouve au sommet d'un col, sur un point a double courbure, il y a un degre seulement d'instabilite. Le point peut osciller perpendiculairement a la ligne de plus grande pente avant d'etre entraine definitivement. Enfin, si le point est au sommet d'une calotte a convexite dirigee vers le haut, l'instabilite est du second degre : il y a instability complete, car le mouvement est a deux parametres. Tout deplacement du point detruira l'equilibre.
87. Cas des systemes dissipatifs. — Considerons le meme systeme que precedemment et dans la meme position. Nous supposons qu'on lui applique les memes forces positionnelles, mais aussi qu'on ajoute de nouvelles forces, qui, cette fois, dependent des vitesses et qu'on appellera, avec Tait et Thomson, des forces motionnelles.
Nous considerons plus particulierement les forces qui donnent naissance a la viscosite des fluides. Nous supposons done que sur chaque point de masse m, anime d'une vitesse p, agit une force F proportionnelle a la vitesse et dirigee en sens inverse : F = — kv.
Calculons d'abord les composantes de ces forces et leur travail. Soient m, \a masse d'un point; x'i , y\ , z\ les composantes de sa vitesse :
Xi~~di' yi~~di" Zi=~di'
La force de viscosite aura done par definition, pour composantes,
Xj = — kix\) Y i = — kij-\ %i — — ktz'ij At etant un coefficient positif.
Le travail elementaire de ces forces, dans le deplacement reel.
sera
% = t(Xt da>4+ Yt dyr+ Zt dzt) = — J- I kt{dx* -+- dyf -h rfs? ).
De meme le travail elementaire, dans un deplacement virtuel compatible avec les liaisons sera
©'= S(X/ 8a:,-f- Y* 07 f 4- Z, 82,-) = — ^ Zk^dxj hxt -h t/j, -+- ds, 8z/). Galculons ces expressions en fonction des parametres, on a
&t=fi(qu q%, qn\ ?i= ?i(qi, q%> qn), zt = ty(?t3 ?2,.-, d'oii
(ia7j , - — dq2-h..
dqn *
dxt
dxi
dxt m 0qn 1
Galculons on aura une forme quadratique analogue a celle d'une force vive ou les masses seraient remplacees par les coefficients ki. On aura done
$ = — J- S Bik dqt dqk (BM = B*,).
Pour calculer introduisons une notation plus commode, et pour cela considerons la forme quadratique
f(q\, q'2. q'n) = l2Btkq'tq'k= r* (Bu ?',2 + 2B12q\ ?'2 + . . .),
V est une forme bilineaire en dqK, dq2, dqn et dqi ,
§q2, . . . , Saic- G'est ce qu'on appelle la forme polaire de la forme <&, On peut alors l'ecrire immediatement
= — ~2Bikdqi Bqk.
Elle se reduit a la forme % quand le deplacement virtuel est identique au deplacement reel.
Ecrivons %r sous la forme suivante et developpons :
*£'=: S Bik g'i $qk
= — 8^7, ( B 1 1 q\ -+- BJ2 q'.2 +■.'..-+- Bin q'n) — oq, ( Bo, q\ -+- B22 q\, -+- . . . -b B2„ gr'„ )
Introduisons maintenant la forme quadratique / definie cidessus. Le travail virtuel pourra alors s'ecrire
<5) -9^H^fa+;..+ £Hm.
88. Equations des petits mouvements dans le cas d'un systeme dissipatif. — Les forces appliquees sont de deux sortes : celles qui derivent de la fonction de forces U et celles qui proviennent de la viscosite. La somme des travaux virtuels de ces forces se composera done de deux parties :
Oqi 1 dq-2 * dqn 7
Le coefficient de §qK sera done
dq\ °qv dq\ " dq'n
dqi dq\
Les equations de Lagrange deviennent alors
dt \0q'J Oqt dqi dq\
Nous faisons toujours ici la meme approximation que dans le cas precedent, en negligeant les termes du second ordre et en prenant seulement les valeurs principales des parametres et des vitesses, de sorte que U et T conservent les memes formes quadratiques (3). Nous simplifions de meme f en developpant ses coefficients B;a dans le voisinage de la position d'equilibre
Dtk= bik+ qi H- don f = - t*OikqtqKf
en r6duisant B,a a la constante II faut remarquer que T esl essentiellement positif. II en est de meme de /.
Les equations du mouvement deviennent alors, avec ces hypo-
i heses,
q'\ = «i q\ — {bn q\ -+- bi2q\,-i-. . .-t- b]nq'n), q\ = *2?> — (^21 q\ -h buq'2 -+-. . .-+- 6.2/t </'„.)
ou, en general,
(7) = — Vbikq'K= 'J-tqi—
011/ est la forme quadratique essentiellement positive
2/== bti q'f -h 2612 ^ q'2 + • • • = S ( =
Le premier terme du second membre des equations du mouvement (7) comprend les forces positionnelles ou conservatives fonctions des qt. Le second comprend les forces motionnelles ou forces dissipatives de viscosite, fonctions des q\.
Nous avions fait une hypothese parliculiere sur la nature de ces forces dissipatives, en les attribuant a la viscosite. Nous appellerons plus generalement forces dissipatives celles qui conduisent a des equations du mouvement de cette forme, quelle que soit la nature de ces forces. On dira alors qu'on a un systeme dissipatif. Ce sera le cas des systemes ou il y a des resistances passives.
Remarque. — Un tel systeme est appele dissipatif pour la raison suivante. Multiplions les equations (7) du mouvement successivement par q\ , . . . , q'/n et ajoutons-les ; il vient
(8) — j- — —j if 011 — - — 5 - = — if.
K ' dl dt J dt J
Or, / etant essentiellement positif, il s'ensuit que l'energie tolale T — U va en diminuant. L'energie se dissipe a partir de sa valeur initiale.
89. Dissipativite complete et incomplete. — Pour que l'energie se dissipe dans tous les mouvements possibles, il faut que les forces dissipatives soient completes, c'est-a-dire que /depende cxplicitement de tous les q' .
Supposons, par excmple, que /ne depende pas de q\. Gela veut
dire que
Alois la premiere equation du mouvement est independante do J et de la dissipativite, et q\ n'entre plus dans les autres equations.
Com me les parametres q sont independanls et que le systeme se trouve dans une position d'equilibre, on peut faire subir au systeme un deplacement qui porte seulementsur le parametrc qK. Les parametres q^ <y3, . .., qn conservent leurs valeurs d'equilibre, c'est-a-dire nulles, d'apresles hypotheses faites. Nous donnons kqK une valeur assez petite dans le voisinage de la position d'equilibre et eompalible avec les donnees du probleme. Le mouvement qui en resultera aura pour equations
yt=ai?i> ^2 — °j •"•'■> In—0-
Ce mouvement ne depend plus de /, qui est nul, puisque cette fonction est independante de q\ et que tous les autres q\ sont nuls. L'energie totale reste done constante dans ce cas.
\insi, dans le cas de forces dissipatives incompletes parmi tous les mouvements possibles autour de la position d'equilibre, il y a des mouvements dans lesquels l'energie est conservee.
Nous allons resoudreles equations du mouvement dans le cas de la dissipativite complete.
Dans ce cas, T — (J va en diminuant dans tous les mouvements possibles du systeme. II s'agit d'integrer un systeme d'equations lineaires simultanees. On pose done
qi = Xi ert, cjo = X, e''t, .... qn = ln ert,
et Ton porte ces expressions dans les equations du mouvement. 11 vient, en divisant par erC :
%i (61 ir~ t 2 — ai)-h X, bl2r -+- X3613 /*-K ,.-+- X„ ,b\ „ r —o,
\i b.2tr H- X.2(6.22/--i- r- — a.,)-f- X3 b.z2 r-h...-h X„ b.2n?' —o,
a, bltlr -j-A2b/rl/- -{-X36n3/'H-...H-X„(6/l/t/*H-/-2— a„) = o.
Pour que ce systeme de n equations en X ait des solutions non nulles, il faut que le determinant soit nul. C'est l'equation caract£ristique du systeme des equations lineaires. Nous la designerons
APPBLL. — IV. 16
>\x FIGURES DEQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
par F(r) :
bu r-t-r* — y.\ b\,r b\«r ... bUl r
bnr 622r+r2 - a2 b,zr ... bin r
Si Ton peut trouver une racinc de cetle equation, les n equations en a se reduiront a n — i equations d'ou Ton pourra tirer des valours proportionnellcs a a,, a2. • • • 5 En designant par (r), fzif)) • fn{r) les niineurs de F(r), en suj)posant la derniere ligne eliminee par exemple, il vient, pour chaque valeur de r racine de F(/') — o,
/>('•) /.(O "' Mr) ^
oii jut. est une constante arbitraire.
Si r = r, est une racine de F(/ ) = o, et si /jl, est la valeur arbitraire de la constante, ondeduit de ces equations d'abord la valeur
des a :
X , = [a, /t ( r , ). X2 = (i^/, ( n ), . . . , X„ == fij /„ ( n ), puis la solution particuliere du systeme
q\ = Hi/i(''t) er^3 ?t==>i/s(ri)cr^? . .., qn = v-\Jn(r\)eril.
Avec la racine r2 et une constante arbitraire correspondante fj.2, on obtiendrait de meme une seconde solution particuliere, etainsi de suite.
Avec les n solutions correspondant a n racines de Fequation caracteristique, on formera l'integrale generale par addition des n integraies particulieres obtenues. On aura
0i = H-i/i (n)er^-h n2/i (r2) e^'-h. . . + jxn/» (r„) e'V. ?2 = M-i/2 (>'i) + ^2/2 ('"•>) • --4- V-nfi(rn)er>'t,
9n= [il/»(''i)er'(+ h/»(''s)«'"s< + - • •+ V-nfn{rn)e''nt.
Telles sont les equations du mouvement dans le voisinage de la position d'equilibre.
90. Stabilite de l'equilibre dans le cas de forces dissipatives. Theoreme de Tait et Thomson. — Pour que l'equilibre soit stable, il fa ut que les racines de l'equation caracteristique F(r)= o aient toules leurs parties reelles, negatives ou nulles.
Soit, par exemple, une racine r = p -h iq. La condition necessaire et suffisante pour que l'equilibre soit stable est /?<o. Car si l'on avait p positif, le terme
ert = ePt^cosqt -+- i s\nqt)
augmenterait indefiniment avec t. La valeur des qL et des q] augmenterait de meme sans limite et le systeme s'eloignerait de sa position d'equilibre. Done, aucune racine ne doit avoir de partie reelle positive. Une partie reelle nulle introduira seulement des sinus et cosinus. II y aura oscillation autour de la position d'equilibre. Une racine avec partie negative introduira un terme qui tend vers zero avec le temps. II y aura oscillations amorlies autour de la position d'equilibre, ou le systeme reviendra finalement au repos.
Tait et Thomson ont demontre un theoreme tres important, d'apres lequel l'adjonction de forces dissipatives a un systeme conservatif ne change pas la nature de l'equilibre de ce systeme.
Soit un systeme soumis a des forces positionnelles conservatives, derivant d'une fonction U. Le mouvement autour d'une position d'equilibre est defini par les equations
L'adjonction de forces dissipatives transforme, par definition, ces equations dans les suivantes :
, « „ Of '„ df „ df
Le theoreme etablit que, si l'equilibre est stable sous la seule action des forces conservatives, il restera stable apres l'addilion des forces dissipatives. S'il est instable dans la premiere hypothese, il sera encore instable apres l'adjonction des forces dissipatives. Evidemment le mouvement sera modifie, mais nullement la nature meme de l'equilibre.
La demonstration repose sur la relation fondamentale (8), e'est-a-
dire sur co queles forcesdissipativesintroduisentune perte d'encrgie
Premier point. — ■ Soit F( r) = o l'equation caracteristique du systeme complet. Je dis que cette equation ne peut pas avoir deux racines purement imaginaires.
Supposons, en effet, que nous ayons deux de ces racines qui doivent etrc conjuguees, puisque les coefficients de F sont reels. Soient
rv = im et r., = — im.
Ecrivons les solutions particulieres correspondantes du systeme differentiel, on a
gi = l^ f i (ri)«M"4- (r,) e->»u,
Ge mouveuient est un des mouvements possibles du sjsteme, par hypothese, et nous pouvons -ecrire les Equations du mouvement, en faisant nuls les autres /j. arbitraires :
<y, = cos ml -+- ki s'mmt, q2 = Ju cos mt -+- k2 sinm£,
— hn cos ml -+- kn s\nmi .
Dans ce cas, T prendra la forme
(10) T = A + B cos 2 ml + G sin 2 ml ;
mais comme, d'autre part, T est une somme de carres, T doit etre positif pendant toute la duree du mouvement, d'ou la condition
D'autre part, U est egalement une forme quadratique, qui dans le mouvement s'ecritsous une forme analogue
(11) U = A' -+■ B' cos 2 m* -+- C sin 2 ml ;
mais ici le signe de U n'est pas determine d'avance, car nous ne savons rien sur les a.
Enfin,/est une forme quadratique des q' , qui eux-memes sont de la meme forme que les parametres q, d'apres leur expression ci-dessus. On aura done
f = A" 4- B" cosimt -+- G" sra2m2 ;
mais, f etant cssentiellement positive, on a encore ici la condition
Ecrivons maintenant l'equalion (8) qui relie T, U et /au moyen de ces relations. Les derivees de U et de T par rapport au temps ne contiendront plus les constantes A et A'. II vient done
— (B — B') 2m sin 2 mt -+- (C — C)-im cos 2 mi = — 2 V" — 2 B" cos 2 »> I — 2 C" sin 2 ml.
Cette equation entraine A"= o, ce qui exige egalement B " = o et G"=o d'apres (12). La fonction / devrait done £tre identiquement nulle dans ce cas, ce qui est impossible, car nous admettons que pour tout mouvement possible la fonction dissipative est differenle de zero ( dissipativite complete).
Ainsi, quelle que soit la nature de l'equilibre avant Faddilion des forces dissipatives, Tequation caracteristique relative au systeme complet a toutes ses racines de la forms p 4- iq, 011 p ^ o.
Deuxieme point. — Geci etabli, supposons que l'equilibre soit stable sous Taction des seules forces positionnelles. On a alors
avec
gi — O, q<i=o. q,i=o.
Puisque l'equilibre est stable en cette position, U est maximum sans les forces dissipatives. Nous allons demontrer que l'equilibre sera encore stable apres l'adjonction de ces forces. Pour cela, nous allons montrer que l'equation caracteristique ne pent pas avoir de racine ayant une parlie reelle positive.
Supposons, en efiet, qu'une des racines ait une partie reelle positive, alors les parametres qK, </.,, . . . , qn augmentent indefini-
ment avec le temps. Le sjsteme 6 taut en equilibre, derangeons-le ires pen de cette position et imprimons-lui de pelites vitesses. \ppelons T0 et U0 les valeurs initiales de T et U, on a
r/( r(/7U) < °' donc 1 ~" U< T° — U° 5
mais, comme les parametres q augmentent indefiniment, — U qui est essentiellement positif, a cause du signe negatif des a, augmente indefiniment. Les vitesses q\ angmentent aussi indefiniment, donc T augmente sans limite.
Ainsi T — U doit decroilre autour de la position d'equilibre et rester inferieur a T0 — U0, alors que dans l'hjpothese faite il augmenterait indefiniment. II ne peut donc pas y avoir de racines a partie reelle positive, et, si l'equilibre est stable avant 1'adjonction des forces dissipatives, il le restera apres.
Si V equilibre est instable sous Taction des seules forces positionnelles, alors quelque a est positif, par exemple a1 > o. Ajoutons les forces dissipatives. L'equilibre restera instable. II suflit de montrer que dans ce cas-ia toutes les racines de F ne peuvent pas avoir leurs parties reelles negatives.
En efFet, derangeons le sjsteme de sa position d'equilibre de la facon suivante : a{ etant positif, donnons aux parametres de petites valeurs de <facon que U0 soit positif, en prenant par exemple
£t>0, q-i— o, qn—o,
puis abandonnons le sjsteme ainsi deplace sans vitesse initiale, e'est-a-dire T0 = o. Dans le mouvement subsequent, on aura
d(T — U)< o, donc T — U <— U0.
Or nous avons suppose que toutes les parties reelles des racines de F sont negatives. Donc quand t augmente, T et U tendent ensemble vers o, parce que les parametres q et leurs derivees tendent vers o. A partir d'un certain moment, T — U serait aussi voisin de o qu'on voudrait et ne pourrait pas rester inferieur a une quantite negative — U0. II faut donc que certaines racines r aient leur partie reelle positive; alors l'equilibre reste instable apres 1'adjonction des forces dissipatives.
Nous avons suppose les forces dissipatives totales. Le resultat
serait encore vrai avec des forces dissipatives partielles. En efFet. considerons uri sjsteme ou l'une des equations serait sans dissipativite :
Of „ df
La premiere equation donne un equilibre stable ou instable quand qs varie. Le sjsteme des autres equations se traiterait comme precedemment. On verrait que radjonction de la fonction f ne change rien a la nature de l'equilibre. Le theoreme est done general.
91. Forces motionnelles g-yroscopiques. — Au sjsteme des forces conservatives et dissipatives, ajoutons d'autres forces distinctes des premieres Q1? Q2, . . ., Q„. Les equations de Lagrange correspondant a ce sjsteme s'ecriront
d /dT\ £T ()f K } dl \dq'J dqt ~ dqt dq\ ^
On dit que les forces Q,, Q2, . . . , Qn sont gjroscopiques, si elles verifient la condition
(i 4 ) Qi q\ -+- Q-2 q\ -+-...-+- Q» q'n = <>•
Gela revient a dire que le travail de ces forces est nul dans le deplacement reel du sjsteme, car le fait que ce travail est nul serait exprime par la formule identique a la pr£cedente :
Qi dq i 4- Q2 dq.2 Qn dqn = o.
Telle est Interpretation mecanique des forces gjroscopiques.
Voici lorigine de cette denomination. Quand on etudie le deplacement relatif d'un point par rapport a des axes mobiles, il faut ajouter aux forces reelles certaines forces fictives, pour obtenir les equations du mouvement ou de l'equilibre, par rapport a ces axes mobiles. Ces forces fictives sont la force centrifuge et la force centrifuge composee. On sait que cette derniere force est perpendiculaire a la vitesse relative, de sorte que son travail dans le deplacement relatif est toujours nul. Or ce sont precisement ces forces centrifuges composees qui interviennenl dans l'etude des
'i8 FIGURES D EQUILIBRE DUNE MASSE LIQU1DE EN ROTATION.
mouvements gjroscopiques. Ce sont olles en particulier qui assurent l'equilibre du mouvementde la toupie, tournant a grande vitesse sur sa pointe.
Tail et Thomson ont etendu le nom de forces gjroscopiques a toules les forces qui jouissent de la meme propriete mecanique du travail nul (i ,\) et ils demontrent qu'elles jouissent toutes de la propriete d'assurer l'equilibre en certains cas. 11 est a remarqucr que, dans des cas Ires etendus, les equations du mouvement d'un sjsteme non holonome, sous Paction de forces donnees analytiquement, peuvent etre ramenees a celles d un sjsteme holonome sous Taction des memes forces auxquelles on ajouterait des forces gjroscopiques convcnables
Nous allons supposer une position d'equilibre d'un sjsteme soumis a diverses forces, en particulier a des forces gjroscopiques. et nous etudierons les petits mouvements du sjsteme autour de cette position d'equilibre.
Remarquons d'abord que les forces gjroscopiques Q,, Q>, . . . , On contiennent dans leurs expressions les q' , autrement l'expression qui les definit (izj) ne pourrait pas etre nulle identiquement, car les q ne pourraient jamais se reduire et se detruire.
Reduisons alors ces expressions Q a leurs parties lineaires en q' , simplification analogue a celle que nous avons faite pour les autres forces et qui est legitime tant que Ton s'ecarte peu de la position d'equilibre ou les q et q sont nuls. Les equations de Lagrange se reduisent alors, dans ces hjpotheses, aux expressions
! gi I q\ + S 12 q'l + • • gin q'in
q"n = «« qn ~ ^4 + gn . q\ + gm q 2 • • • ^ gnn
D'ailleurs, les g ne sont pas quelconques. En effet, l'equation
(') A.PPELL, Ilemarques d'ordre analytique sur une nouvelle forme da equations de la dynamique (Journal de Liouville, 5° s£rie, t. VII. 1901. p, 5-i2).
dq\ )q.
de condition (i4) peut s'ecrire en developpant
&\ i q'? - - g\* q\ q\ • • • -+- gin q\ q'„ ff-n q'i q\ gn q'-'i • • + gm q'i q'n
gn\ qn q i *fe gn%qn q$-+-. . . -:- ?,r = °-
Ge qui exige = gi2 = ^33 = . . . = o on en general
gik=o, el gtf2 = — g2i on en general gik-\-gki = o. Celte derniere condition entraine la premiere, de sorte que la condition generale des forces gyroscopiques (i4) peut s'ecrire aussi
s Qi gr; = s -,/, ^ = o ou ^r'ijt -+- gu = o.
92. Theoreme de Tait et Thomson sur l'equilibre dans le cas des forces gyroscopiques. — Nous distinguerons deux cas.
Premier cas. — Supposons un systeme soumis a la fois aux trois sortes de forces ainsi definies : conservatives, dissipatives et gyroscopiques. L 'etat d}equilibre existant sous V action des forces conservatives seules ne sera pas change si Von ajoute d la fois des forces dissipatives et des forces gyroscopiques. Reciproquement, si V equilibre est stable sous V action des trois sortes de forces, il le restera si Von supprime les forces dissipatives et gyroscopiques ; s'il est instable, il le restera egalement.
Pour le voir, il suffit de reproduire exactement le raisonnement fait plus haut pour les forces dissipatives seules. En effet, ce raisonnement repose entierement sur la relation
/fl; d{t — U) -
Or cctte relation a lieu encore ici, car en ajoutant les equations du mouvement (i3) les unes aux autres, apres les avoir multipliers respectivement par les q' correspondanls, comme on Fa fait au n° 88, les termes correspondant aux forces gyroscopiques donnent precisement unc somme nulle. Ces forces sont done eliminees et Ton retrouve identiquement l'expression ci-dessus qui ne depend que de f el des forces dissipatives.
Par consequent, T — U decroit constamment dans le mouve-
25o FIGURES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
menl, el, la dissipalivite elant complete, la nature de l'equilibre n'est pas changee.
11 faut bien remarquer dans ce cas que les deux groupes de forces motionnelles entrent a cote des forces posilionnelles.
Second cas. — Gonsiderons maintenant un sjsteme son mis a des forces conservatives et supposons qu'on introduise seulemenl des forces gjroscopiqucs. 77 pent se faire alors que I1 introduction des forces gyroscopiques scales transforme l'equilibre instable en equilibre stable.
Les equations du mouvement sont alors, en faisanl gkk= o,
gtt +
H gin
qn = q,i -+- gn\ q i + gm q-.
i° Si le sjsteme soumis aux seules forces derivant de LJ est stable, V adjonction des forces gyroscopiques laisse subsister la stabilite. En effet, on a T — U = const., et U est maximum dans la position d'equilibre. II n'j a qu'a appliquer de nouveau le raisonnement du th£oreme de Lejeune-Dirichlet. On retrouvera la meme conclusion. L'equilibre reste stable.
2° Si l'equilibre sous Taction des forces conservatives est instable, il peut devenir stable. Determinons, en effet, l'equation caracleristique du sjsteme d'equalions lineaires. II faut egaler a o le determinant des equations en 1 :
X a gt nr
*ign\r c'est-a-dire
' ft 12' ©13 ' ft/H/' ^»2^ •
L'equilibre final, sous Paction des deux groupes de forces, sera instable si l'une quelconque des racines a sa partie reelle positive;
il sera stable si toutes les racines ont leur partie reelle negative. Ici, il s'introduit une condition necessaire et d'ailleurs inaltendue : V instability initiate doit itre de degre pair.
Soit F(r) l'equation caracteristique. Le terme de degre le plus eleve est r-n qui est positif. On a done F(oo) > o. D'autre part, on a, en faisant /• = o,
S'il y a un nombre impair d'a positifs, alors F(o) sera negatif. II y aura done au moins une racine comprise entre o et go, et lequilibre sera instable. L'instabilite iniliale sera conservee.
S'il y a un nombre pair d'a positifs, alors F(o) sera aussi positif et Ton ne pourra rien dire en general; car F(r) peut avoir dans ce cas o ou un nombre pair de racines positives. Si F(V) n'a pas de racines positives, V instability est transformee en stabilite. Si F a des racines positives, l'instabilite demeure.
La discussion de tous les cas possibles serait longue, mais on peut montrer sur des exemples qu'effectivement dans certains cas, l'adjonction des forces gyroscopiques transforme l'instabilite en stabilite.
Exemple. — Gonsiderons les petits mouvements d'un point definis par les equations
x" == ax + gy'. y" = [iy — gx'.
Si Ton a a <C o et (3 << o, il y a stabilite, avec ou sans les forces gyroscopiques. Si Ton a a. >> o et (3 << o, il y a instability dans les memes conditions.
Si enfin l'on a a > o et (3 > o, il y a instability avant l'adjonction des forces gyroscopiques. Que se passe-t-il apres leur adjonction?
Posons
x — X erl , y = \x ert ;
.1'ou
Kgr -f- {x( vi—r{j) == o
et
F(r) = ( /•- — a) ( r- — p ) -h g- r- = r* 4- r- ( g- — a — p) H- ap = o.
Si g est nul, c'est-a-dire s'il n'y a pas de forces gjroscopiques, le sjsteme est instable comme nous l'avons vu. Mais g est arbitraire ; on pout le prendre assez grand pour que l'on ait
Alors l'equation ci-dessus du second degre en r2 a deux racines reelles negatives qui donnent pour /• des valeurs purement imagi-
naires :
r- = — h-, r- = — k*j r — =h ih, r == ~t ik.
Avec ces valeurs de r, les parametres x et y ne conliendront que des sinus et des cosinus. Le mouvement primitivement instable sera devenu stable par l'adjonction des forces gjroscopiques.
Si le sjsteme est a dissipativite partielle, les monies conclusions sont encore vraies. Si le sjsteme primilif est stable, le sjsteme final sera stable egalement. Si le sjsteme primitif est instable de degre impair, il restera instable. S'il est instable de degre pair, il pourra devenir stable dans certains cas.
Supposons, par exemple, que les equations du mouvement soient de la forme suivante :
q\ = « i qi
q\ = y~i q% q\ = y-"ci"
q'n = *nqn + Qn-
Les deux premieres equations ne contiennent pas de dissipativit£ /, et de plus un certain nombre de gik~ — gki sont mils. Si a, et a2 sont positifs et tous les auttes a negatifs, le sjsteme initial est instable ainsi que le sjsteme obtenu par l'adjonction des seules forces dissipatives. Mais, par contre, l'adjonction des forces gjroscopiques peut le rendre stable. II suffit que g soit suffisamment grand pour stabiliser les deux premiers parametres, comme on Pa vu ci-dessus.
G'est ce qui a lieu dans l'etude de l'equilibre relatif, par rapport a des axes entrained, de ce qu'on appelle la toupie dormante. La
+ gq'i- — gq\ ,
toupie posee sur sa pointe tomberait si des forces gyroscopiques suffisamment grandes n'existaient pas. Elle resterait toujours en e(] uilibre s'il n'y avait pas le frottement et la resistance de l'air, forces dissipatives, qui mainliennent et ramenent l'instabilite. Gar, il faut le remarquer, l'adjonclion des forces dissipatives conserve toujours la nature de l'equilibre primitif, ou le ramene quand Fadjonction des forces gyroscopiques a change l'instabilite en stabilite.
93. Stabilite temporaire et stabilite seculaire. — En resume, un systeme en equilibre dans lequel les forces derivent d'une fonction de forces U doit verifier les conditions
<)\j <Hj dU
(jui impliquent que U est maximum on minimum. La stabilite de cet equilibre implique, en outre, d'autres conditions.
i° Si le systeme est soumis aux seules forces derivant de U, il faut et il suffit que U soit maximum pour que l'equilibre soit stable.
2° Si I on fait agir, en plus des forces precedentes, des forces dissipatives quelconques, il faut et il suffit encore pour la stabilite que U soit maximum. En d'autres termes, les forces dissipatives ne modifient pas la nature de l'equilibre.
3° Si le systeme est soumis aux forces derivant de U et a des forces gyroscopiques, il suffit encore que U soit maximum. Mais cela ii est plus necessaire. L'equilibre peut etre stable sans que U soit maximum, la stabilite elant introduite par les forces gyroscopiques.
4° Si le systeme est soumis a la fois a des forces conservatives, a des forces dissipatives completes et a des forces gyroscopiques, il faut et il suffit encore que U soit maximum. La nature de l'equilibre est la m€me que lorsqu'il n'v a que des forces conservatives.
5° Si le systdme e^t soumis a la fois a des forces conservatives, a des forces gyroscopiques et a des forces dissipatives, mais incompletes : il suffit que U soit maximum; mais ce n'est pas
necessaire, car il peut se faire que les forces gyroscopiques retablissent la stabilite des parametres sur lesquels ne porte pas la dissipativite.
Jl n'y a done, en fin de compte, que deux hypotheses possibles, et lord Kelvin, qui avait deja fait cette distinction, appelait stabilite seculaire celle qui a lieu quand on tient compte des forces dissipatives completes. Cest la meme stabilite que si le systeme etait simplement conservatif : il faut et il suffit que U soit maximum. 11 appelait stabilite temporaire celle qui existe sans les forces dissipatives on peut-etre avec des forces dissipatives incompletes. II suffit, pour que cette stabilite existe, que U soit maximum, mais cela n'est plus necessaire.
Supposons ce dernier cas realise. II ne peut l'etre qu'a titre d'hypothese, comme en mecanique rationnelle. Dans la nature, en effet, il y a toujours des frottements, e'est-a-dire des forces dissipatives. De sorte que, si l'on se trouve dans le cas de U non maximum et de l'equilibre realise par le moyen des forces gyroscopiques, cet equilibre sera detruit lentement et ne pourra etre que temporaire. Les forces dissipatives qu'on a pu negliger pendant un certain temps, ou en premiere approximation, agissent tout de meme et, a ta longue, finissentpar ecarterle systeme de sa position d'equilibre.
L'exemple type est celui de la toupie dormante. L'observateur suppose entraine avec des axes invariablement lies a la toupie, l'axe des z se confondant avec l'axe de rotation, observe qu'il y a equilibre au debut du mouvement. Or, ici, les forces derivent d'un potentiel (J = — gz, et U se trouve etre alors minimum, puisque le centre de gravite est le plus haut possible, et z a sa plus grande valeur. Malgre cela, grace aux forces gyroscopiques, l'equilibre relatif existe et il est stable. Si Ton ecarte un peu la toupie, elle oscille autour de sa position d'equilibre.
Mais cette stabilite n'est pas seculaire. En mecanique rationnelle, on a pu negliger le frottement du pivot, la resistance de l'air. Mais en realite, au bout d'un certain temps, la toupie s'ecarte, lentement d'abord, puis plus rapidement, de sa position d'equilibre. La vitesse de rotation diminuant, elle s'incline et tombe.
94. Application des theoremes a l'equilibre d'une masse fluide en rotation. — II se presente tout d'abord une difficulte dans cette application. En efFet, les theories et les equations ci-dessus supposent que les sjstemes dependent d'un nombre fini de parametres. Au point de vue physique, un liquide compose de molecules depend aussi d'un nombre tres grand, mais fini, de paratnetres. An point de vue malhematique et de la continuity, il n'en est plus ainsi. Une masse continue depend d'un nombre infini de para metres, d'une infinite denombrable cependant. Par generalisation, on pent admettre avec Poincare et. lord Kelvin que les conclusions sont applicables a Ja limite aux masses supposees continues.
Considerons done notre fluide en rotation. Prenons comme axe des z l'axe de rotation avec Ox{ yt comme axes fixes et Oxy comme axes entraines dans la rotation et lies au corps. Par hypothese, la masse fluide est en equilibre relatif par rapport aux axes entraines.
Dans l'equilibre relatif, les forces dont il faut tenir compte sont :
i° Les forces d'attraction mutuelles de la forme — mi™k etdont
rik
le travail clans un deplacement virtuel est
W est, a un facteur constant pres, ce que nous avons appele Yenergie da systeme. On voit que les forces d'attraction mutuelle derivent d'une fonction de forces W.
2° La force centrifuge, en second lieu, a pour projections en un point
/nio-x. /noy-y, o.
Bile derive d une fonction de forces qui, pour le systeme entier, s'ecril :
I d^signaut le moment d inertie de la masse fluide par rapport a Oz.
En definitive, pour l'equilibre, les forces derivent d'une fonction
de forces qui est
(18) D.= W+ -Jw*.
Pour obtenir une position d'equilibre, il faut que les derivees partielles soient nulles, ou que la variation de U soit nulle.
Pour savoir si cet equiiibre est stable, ecartons tres peu les molecules de leur position d'equilibre et etudions le mouvement relatif autour de Og, en communiquant a ces molecules de tres petites vitesses.
Mais le fait de communiquer aux particules du fluide un mouvement par rapport au systeme d'axes entraines par la rotation introduit de nouvelles forces dont il faut tenir compte. Ce sont les forces centrifuges composees et les forces de viscosite ou de resistance de milieu.
Dans les petits mouvements autour de la position d'equilibre, il faudra done tenir compte : i° des forces conservatives qui derivent de U; 2° des forces gyroscopiques qui sont ici les forces centrifuges composees; 3° des forces dissipatives qui sont ici les forces de viscosite provenant du glissement des molecules les unes sur les autres.
Si Ton admet que les forces dissipatives sont completes, e'est-adire qu'elles agissent toujours des que le fluide se meut, il faut et il suffit, pour que l'equilibrc soit stable, que U soit maximum,
e'est-a-dire que W -f- ~ Iw2 soit maximum.
Si Ton ne tient pas compte des forces dissipatives (et Ton traiterait alors un probleme abstrait en dehors de la realite), cette condition de U maximum serait suffisante, mais elle ne serait plus necessaire. II serait tres difficile alors d'exprimer cette condition necessaire, qui varierait dailleurs avec les differentes hypotheses faites, comme par exemple pour celle que fait Poincare.
En realite, les forces dissipatives existent toujours, mais ne peut-on pas imaginer un mouvement du systeme tel qu'elles n'agissent plus? Poincare, qui a souleve cette difficulte, indique qu'on pourrait considerer un mouvement infiniment voisin du precedent et sans glissement. II suffirait d'admettre que le liquide
ourne tout d'une piece et continue a tourner tout d'une piece, en se contractant par exemple, et en tournant an temps t + dt avec
ne vitesse angulaire w + da, infiniment voisine de la precedente. Dans la realite, jamais la contraction ne serait uniforme dans toute la masse. II j aurait loujours des inegalites de vitesse et par con-
equent des forces dissipatives.
Poincare a fait remarquer egalcment que, si Ton suppose le systeme entraine par un systeme rigide comme un axe materiel solide (l'aiguille de l'experience de Plateau), les forces dissipatives sont completes, car tout accroissement de la vitesse de rotation produit des frottements. Mais le probleme que Ton traite n'es't plus celui de la figure des planeles.
Pour le probleme de la figure des planetes, Poincare suppose comme plus naturel qu'on se donne, non pas w, mais le moment cinetique de rotation p. = Iw, qui reste constant, meme dans la contraction. 11 admet alors que la contraction se produit sans introduire de forces dissipatives, de la maniere indiquee plus haut. II demontre que, dans ce cas, la condition necessaire et suffisante de la stabilite de l'equilibre, celle qui remplace la condition g^nerale de lord Kelvin, est que l'expression suivante soit maximum :
(19) W— ^ = W— jlco^.
Nous allons demontrer auparavant, avec Poincare, quelques resultats generaux relatifs au mouvement d'une masse fluide qui se deforme dans son mouvement, comme c'est ici le cas.
95. Mouvement general d'une masse fluide qui se meut et se deforme. Solide equivalent. — Nous rapportons ce mouvement a des axes fixes. Soient m une molecule du fluide, V(m, e, w) sa vitesse. Gonsiderons un corps solide qui, a l'instant t, a la meme forme que le corps liquide, qui est compose des memes points materiels, dont le centre de gravite a la meme vitesse que celle du centre de gravite du fluide, dont le moment cinetique est le meme que celui du fluide. Nous l'appellerons le solide equivalent a l'instant t. C'est le solide que Ton obtiendrait, avec le m£me mouvement, si Ton solidifiail le liquide, sans changement de volume a l'instant t.
jfkPPBIX. — iv. 17
Les axes d'inertie ct la sommc des moments des quantites do mouvemenl sont les memes pour le fluide et pour son solide equivalent a l'instant t.
Soit V'(^', v', w) la vitesee de la molecule ra, consideree comme
appartenant au solide equivalent. Soit enfin Vr(^r, vr, wr) la vitesse relative de la molecule fluide par rapport a la molecule du solide correspondant {fig. 45). On a
ur = u, — It ', vr — v — p', wr = w — w .
Designons par T, T', Tr la demi-force vive totale du fluide, celle du solide equivalent et celle due aux vitesses relatives, nous allons d6montrer que l'on a la relation
(20) T = T'-h Tr
Oil
=12 m ( u~ + p'2 + w 2 } + I 2 m ( u + p" + tv;i }'
Nous avons en effet
= un v = p'-h p,-, w = w'-h «>,.;
done
= (f//2 -h p'2-f- a-'-) -|- ( H- p)-: 4- -4- 2(li'wr-l- p'tv-b w'«v).
Multiplions cetle relation par m et faisons la sorame de toutes les relations analogues correspoudant a chaque molecule, on a
T = T'-h Tr-h Sm(!<'«r+ pVr-+-
On demontre que le dernier terme est nul.
En effet, la vitesse du centre de gravite du fluide et du solide equivalent etant egales, on a
On en deduit
(i) 1.?nur = o, 2 mvr — o, 2m«v=o.
Ecrivons egalement que la somme des moments des quantit6s de mouvement est la me me pour le fluide et le solide equivalent, on a
Zm^yw' — zf') — 1t(yw — zu),
d'ou
et
Zm(zur — xwr) = o, 7Lm{xv.r — yur) = o.
Ces six conditions (i) et (2) definissent en somme, avec la conservation des masses de chaque particule, le solide equivalent.
Exprimons maintenant la vitesse d'une molecule du solide en fonction de la translation instantanee et de la rotation instantanee de ce solide. Soient a, 6, c les composantes de la translation et p, q} r celles de la rotation, on a
k'== a -+- qz — r y, v' — b -+- rx — p z, w = c -+- py — qx.
On tire de la
u! ur-\- p'pr-h w' wr
= aur-¥- bvr-{- cw,. + p(ywr — zvr) -b q(zur — xwr) -t- r(xvr — yur)\
26o FIGURES D EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
dOii, en faisant la sommation,
S/»(lt'wr+ P'f>r+ w wr)
= aZmur-\- blimt>r-h c2mwr-h p2.m(ywr — zvr) -h ql>m(zur — xwr) -+- r"Lm{xvr — yur)-
Or le second membre est nul d'apres '(i) et (2), done le premier membre aussi. On a done T = T'-|-Tr.
Remarque. — Si le fluide se deplace tout d'une piece, T, = o et le solide equivalent se confond constamment avec le fluide. Reciproquement, si Tr=o pendant un temps infiniment court, e'est que pendant cet instant le fluide se deplace sans glissement interieur, a la maniere dun solide invariable. Si T, est nul pendant un temps fini, le fluide se deplace com me un solide pendant ce temps-la.
Ges generalites pourraient £tre developpees et conduiraient a des proprietes interessantes, mais la relation precedente est suffisante pour notre probleme.
96. Theoreme de Poincare sur la condition de stability. — Suivant l'hjpothese speciale que Poincare a envisagee comme plus naturelle dans l'etude des corps celestes, nous considerons une masse fluide tournant tout d'une piece autour de l'axe O z. Dans ce mouvement d'ensemble, Trest done nul. Nous admettons que e'est le moment cinetique /jl qui est donne et constant, et non la vitesse de rotation.
Pour voir si l'equilibre relatif est stable, derangeons tres peu le fluide de sa position d'equilibre. Nous oblenons un mouvement tres voisin du precedent, dans lequel y. reste le meme. Mais, en general, ce ne sera plus un mouvement d'ensemble. II j aura a la fois mouvement et deformation. Soient alors, a l'instant t, OA, OB, OG les axes d'inertie du solide Equivalent, A, B, C les moments d'inertie par rapport a ces axes, e'est-a-dire les moments d'inertie principaux, j), q, r les projections de la rotation instantanee sur ces axes, la force vive du solide equivalent sera
(21) T'= kpz-+- Bq*+ Gr*
Dans les hypotheses faites, T' depend uniquement des positions
des molecules et non de leurs vitesses, grace a ce fait que /jl reste constant.
En effet, considerons l'ensemble des positions des molecules a l'instant t, on en deduit la forme du solide Equivalent et la valeur des moments d'inertie A, B, G, ainsi que les directions correspondantes des axes principaux d'inertie. D'autre part, en projetant le moment cinetique Op. sur ces axes, on obtient les quantites de mouvement correspondantes Ap, B</, Cr, et l'on en deduit les composantes p, q, r de la vitesse de rotation.
En resume, jji etant donne, A, B, G, p, q, r sont fonctions de la seule position des molecules, non de leurs vitesses, et T', comme W lui-meme, est fonction seulement de la configuration du system e.
Appliquons alors le theoreme des forces vives. Dans le cas ideal oii il n'y aurait pas de frottement interieur, on aurait
dT = dW.
Mais, en realite, il y a des frottements. Les forces dissipatives enlrent en ligne de compte et il faut ecrire
dT = dW — %e, d(T — W)< o.
Mais, comme on l'a vu, il y a un cas oii les forces de frottement u interviennent pas : c'estceluiou le mouvement infiniment voisin est encore une rotation d'ensemble autour du meme axe avec une vitesse infiniment voisine; alors TV= o. Ainsi done on a
d(T — \Y) = 0 si T,,= o, d(T — W)<o si Tr> o.
Comme d'ailleurs T = T'-f- Tr, il s'ensuit que l'on a
T'-h Tr — W — const. si Tr = o,
T'H- Tr— W decroissant si Tr> o.
Nous allons montrer que la condition necessaire et suffisante pour la stabilitede Vequilibre, v'est queT' — W soit minimum, dans la position considcree. Nous avons vu que T' — W ne depend d'ailleurs que de la position des points et est analogue a une fonction de forces.
i° La condition est suffisante. — Considerons la position d'equilibre relalif dont nous etudionsla stabilite. Soient T'e et We les valeurs de T et de W dans cette position. Nous disons quo si T' - We est minimum l'equilibre est stable.
En efFet, dans cette hypothese, si Ton derange infiniment peu le systeme, on a
T' — W > Te — Wc
et a plus forte raison
(23) T — W 4- Tr^ T — W > T'e — W,..
Cette relation a lieu a l'instant initial oii Ton produil le derangement et a tous les instants suivants. Or, T'+T, — W va en diminuant; done T' — W ne peut pas augmenter et doit rester infiniment voisin de la valeur d'equilibre T'e — We, et la nouvelle configuration reste infiniment voisine de la configuration d'equilibre relatif.
En d'autres termes, soient x{, yt, zA, x2, J'2, *2j • • • les coordonnees des molecules dans la position d'equilibre etudiee, et soient gK , A, , kK , g2, h2, A"2, ... les accroissements infiniment petits donnes a ces coordonn^es an moment de la perturbation; ce qui donne pour les nouvelles coordonnees de ces molecules
#1-1- gu *iH-*i>
On aura alors, puisque T' — W est une fonction de la configuration du systeme,
T'- W = Tc- Wr-h/(tfi> hi, k\ , g2, h,: A2, . . .);
f est fonction des petits ecarts; comme par hypothese on a ici un minimum, les premieres derivees sont nulles et Ton a une forme quadratique qui doit rester tres petite, d'apres les inegalites (23). La configuration envisagee est done stable.
20 La condition est necessaire. — Nous allons montrer que, si T^, — We n'est pas minimum, l'equilibre n'est pas stable.
En efFet, si T^, — We n'est pas minimum, on peut trouver une configuration voisine telle que Ton ait
T' — W < — We.
On peut meme faire en sorte que Ton ait
T'W + T,.<T;-We.
II suffit pour cela de donner aux molecules, tres peu ecartees, des vitesses relatives assez faibles pour que T, reste assez petit.
Cette inegalite ajant lieu a l'instant initial de la perturbation, on sait qu'a partir de la T; -f- Tr — W decroit. Mais il peut decroitre indefiniment, car ici aucune in£galite ne vient limiter cette decroissance et T' — W s'ecartera de plus en plus de T'e — Wc. Si T,- ne tend pas vers o, alors T' — W decroit plus rapidement et la configuration s'ecarte completement de celle d'ou Ton est parti. Meme si Tr tend vers o et si T' — W, en decroissant, tend vers une limite, cette limite sera a coup sur differente de T'e — We, puisque T' — W a decru (out le temps. Le systeme pourra atteindre ainsi une autre position d'equilibre, mais non revenir a la position initiale, laquelle est done bien instable.
Ainsi, la condition necessaire et suffisante de la stability de l'equilibre, e'est que T' — W soit minimum dans la position consideree. Or, dans la position d'equilibre, on a
ryr I r I ^2
La condition trouvee peut done aussi s'exprimer en disant que - W doit etre minimum, ou encore que W — - ^ doit etre
maximum, condition necessaire et suffisante, dans l'hypothese en question.
En resume, dans rhypothese de lord Kelvin, si Ton suppose que le fluide ne puisse pas prendre de configuration voisine sans qu'il s'introduise de frottements, forces dissipatives, la condition necessaire et suffisante pour la stabilite de l'equilibre est que
W -(- ^ I r»j 2 soit maximum. On peut consid^rer alors la vitesse de
rotation co comme donnee.
Dans l'hypothese de Poincare, au contraire, si Ton suppose que le fluide puisse prendre une configuration voisine de l'equilibre, sans qu'il s'introduise de frottements, la condition ci-dessus, qui est toujours suffisante, n'est plus necessaire. L'equilibre
pent etre stable meme sans cela. La condition necessaire et suffi-
sante est alors que W — - !j soit maximum.
Si la condition de lord Kelvin est verifiee, puisqu'elle est suffisante, l'equilibre est n£cessairement stable et la condition de Poincare doit etre egalement verifiee. Mais la reciproque n'est pas
vraie. Autrement dit, si W + -lo)2 est maximum, W — ~ ~- Test
aussi; mais si W — ]- ^~ est maximum, cela ne prouve pas que
W -h ^Ico2 le soil.
En effet, supposons la condition de lord Kelvin realisee; on aura, en designant par l'indice e les valeurs d'equilibre relatif qui donnent le maximum
W+ilw*<.W,-f--I,«*.
Je dis qu'il est impossible qu'on ait en meme temps
w IfL!>w
2 J 2 lc
En effet, ajoutons cette derniere inegalit^ a la premiere, il vient
70j2(1 + y)< l^i-^e) Oil (I Ie)2<0;
resultat absurde. L'inegalit6 de lord Kelvin entraine done celle de Poincare.
On voit, d'ailleurs, que la limite donnee par Poincare est plus basse que celle de lord Kelvin.
97. Representation graphique des courbes d'equilibre. Systemes a un parametre. — Nous allons etudier maintenant, en appliquant les principes generaux qui viennent d'etre demontres, la stabilite
c est-a-dire comme /jl == Iew
OU
de l'equilibre d'un systeme dontla configuration depend d'un seul parametre. Nous considererons des series lineaires de positions d'equilibre dependant elles-m£mes d'un parametre variable, et nous suivrons ces series lineaires, en nous attachant a connaitre la nature de la stabilite de chaque position.
Voici comment nous arrivons a definir de tels systemes. Nous supposons que l'equilibre d'un sjsteme a une seule coordonnee q existe et est stable quand une certaine fonction U(g, X) contenant un parametre a est maximum. Gette fonction, d'ailleurs, n'est pas necessairement une fonction de forces. Si \ est donne, la connaissance de q determine la configuration du systeme.
La condition d'equilibre s'ecrira
dl)
Nous poserons
(24) ^ =/(<?, d'ou f(q, X) = o.
C est cette equation qu'il faudra resoudre pour avoir q, c'est-a-dire
Fig. 46.
pour avoir la valeur de la variable q donnant une position d'equilibre. A chaque valeur de A correspondent, en general, plusieurs valeurs de q. Si >. varie a partir d'une valeur a0 determinee, pour laqurlle on a /, valeurs de q donnees par l'equation (24). ces k valeurs varieront d'une facon continue, a partir de leurs valeurs
initiales, et nous aurons ainsi une ou plusieurs branches de valeurs, qui seront des courbes representatives des positions d'equilibre
(fig- 46).
On pout, en eflet, representer graphiquement les resultats en prenant deux axes Oa et Oq et en construisant la courbe f(q, a) — o. Cette courbe nous represente la variation que doit subir le parametre q quand A varie, pour que l'equilibre subsiste. Ghaque valeur de q determinera une courbe distincte et, pour une nieme valeur A0 de A, nous aurons autant de points M et de configurations d'equilibre qu'il y aura de valeurs q correspondantes.
Faisons croitre A a partir de A0 et, partant de la valeur correspondante qt de q, dont le point representalif est M,, suivons la courbe que decrit M, . Cette courbe est continue, au moins aussi
longtemps que la derivee existe. Or, la de>ivee est donnee par la formule
0f dq ^ Of Oq dh Oh
Of
Done cette derivee existe et est unique tant que Ton aura ^ o,
et Ton pourra suivre parfaitement le deplacement du point M4, dont chaque position determinera une position d'equilibre.
Que faut-il pour que le point Mf soit representatif dun eqailibre stable? \\ faut que U soit maximum, e'est-a-dire que Ton ait
Or, nous pouvons ecrire
dq*
Si Ton a en ce point a << o, l'equilibre est stable. II est instable si a >> o; e'est pourquoi nous appellerons a coefficient de stabilite. Tant que le coefficient de stabilite ne s'annule pas, la derivee
existe et l'on peut suivre la courbe de M, sans qu'il se presente
de difficulte. De plus, la stabilite ne varie pas tant que ^| existe, car a, garde alors un signe conslant et ne s'annule pas. II n'en est plus de meme quand ^ s'annule, car alors la tangente a la courbe
de M, devient verticale, ou bien il y a un point double. Nous examinerons ces cas particuliers plus loin.
Cherchons comment on peut determiner sur le graphique si le point M correspond a un equilibre stable ou a un equilibre instable. La courbe f(q, >.) = o partage le plan en deux ou plusieurs regions dans lesquelles la fonction f(q, 1) prend les signes -f- ou — . Nous conviendrons de couvrir de hachures les regions ou f(q, ^) est negative. Gonsiderons settlement une branche de la courbe, dans une portion du plan ou ne passe aucune autre branche (fig. 47)-
Fig. 47 bis.
f tq, >=o
Si la fonction f(q, A) a le signe + au-dessous de la branche de courbe consideree, elle aura au-dessus le signe — . Gonsiderons le point figuratif M, qui correspond sur cette branche a la valeur >0 du parametre, et mcnons la droite A0M. Si Ton suit cette droite dans le sens des q croissants, on voit que la fonction f(q, A), d'abord positive, s'annule sur la courbe, puis devient negative. Done J'(q, / ) decroit quand q croit; on a done en ce point M
dq
done
et l'equilibre est stable en M et le long de la courbe qu'il d£crit.
Dans la situation de la figure 47 bis^ si la region negative est audessous, la courbe est une courbe d'cquilibre instable.
Supposons maintenant que nous ayons plusieurs courbes d'equilibre dans le plan. Supposons que /(</, A) soit positif entre la premiere courbe et l'axe des X, alors cette fonction sera negative entre la courbe M, el la courbe M2, positive entre M2 et M3, et ainsi de suite (fig. 48).
Deplacons-nous dans le sens de q croissant sur la droite LM,M2MS . . . , on voit que M, sera un point representntif d'une
position d'equilibre stable, M2 d'equilibre instable, M3 d'equilibre stable de nouveau, et ainsi de suite.
Ainsi la branche (i) et toutes les branches impaires seront des branches d'equilibre stable. La branche (2) et toutes les branches paires seront des branches d'equilibre instable. Gela aura lieutant
que — restera different de zero sur chacune de ces branches.
98. Cas particuliers . Points limites et points doubles. — Considerons la courbe f(q, X) = o; si, en un point, f s'annule, alors que fx reste fini et different de zero, la courbe en ce point a une tangente verticale. Si jf^ = o et f{ = o, le point est un point singulier et nous nous bornerons, dans ce cas, a l'etude du point double.
i° Tangente verticale. — Supposons f'q=o et /> ^ o pour une certaine valeur >.0 de X. En ce point M0, on aura une tangente verticale a la courbe f(q, X). Dans ces conditions, prenons >„ < X0; si la courbe a la disposition indiquee par la figure 49, on obtient deux valeurs de q au voisinage de M0, c'est-a-dire deux positions d'equilibre dont les points figuratifs sont M et M'. Quand X tend vers X0, ces deux positions tendent simultanement vers M0 et,
quand X >> X0, ces deux valeurs de q deviennent imaginaires conju-
Fig. 49.
guees. Gelte configuration representee par le point M0 est une configuration ou une figure d1 equilibre limite.
Au point de vue de la stabilite, si /(^, X) est positif a droite de la courbe et negatif a gauche, nous aurons stabilite en M et sur toute la portion inferieure de la courbe; instabilite en M' et sur toute la portion superieure de la courbe.
Ainsi, dans ce cas de figure, la branche MM0 est stable, la branche M0M' est instable. Suivons la courbe d'unefacon continue, en partant de M par exemple, et en nous deplacant dans le sens des X croissants, nous rencontrons des points figuratifs d'equilibre stable jusqu'en M0 ; raais, a partir de ce point, il faut revenir vers les X decroissants, pour continuer a suivre la courbe, et de plus tous les points sont des points d'equilibre instable.
Ainsi done, au passage d\in point limite, la stabilite se change en instabilite et reciproquement .
2° Point double, a-dire
Supposons a la fois f = o el f 'i
et
Oq I
Pour les valours X0 et q0i pour lesquelles sont verifiees ces deux i Vjuations, on a generalement un point double. Nous supposerons qu'il en est bien ainsi {fig. 49 bis).
Soit done X0 la valeur qui verifie a la fois ces deux equations, et designons par (1) et (2) les deux branches de la courbe. Pour rester sur la courbe (i) en traversant le point double, il suffira de
prendre pour criterium la continuite de la tangente. Enfin, nous supposerons que les signes de /(</, X) dans les diverses zones sont celles indiquees sur la figure.
Fig. 49 bis.
IY10
Mi (^ii—
in
Prenons d'abord X<Xo. II correspond a chaque valeur de X deux positions d'equilibre M< etM2. En M| il y a stabilite et en M2 instabilite. Quand X se rapproche de X0, alors M, et M2 se rapprochent de M„ et viennent s'j confondre. Quand 1 continue a croitre et depasse X0) nous retrouvons encore deux positions d'equilibre, dont M', et M'a sont les points representatifs. Mais actuellement la branche de courbe (i), et par consequent le point M , , est au-dessus de la courbe ( 2 ) et du point M0 . En M', il y a maintenant instabilite et en M'2 stabilite.
On dit, dans ce cas, que le point M„ estun point de croisement ou de bifurcation. On voit done qu'en un point de bifurcation deux figures d1 equilibre se confondent, dont Tune est stable et I'autre instable. On voit de plus qu'aw point de croisement les stabilites s' echemgent, comme au point limite, avec cette difference que X continue a croitre. En suivant une meme branche de courbe, la figure d'equilibre devient instable si elle etait stable, et inversement.
3° Tangente verticale et point double. — II y a un cas plus particulier et remarquable, parce qu'il se presente dans la theorie de l'£quilibre d'une masse fluide : e'est celui ou Tune des tangentes au point double est verticale.
Nous nous plac,ons dans le cas represents par la figure 5o. Pour ~k <C X0, il y a Irois figures d'equilibre M< , M\ et M2. Apres X0 pour
) >).(). Mt et M, sevanouissent. 11 ne reste plus que M'2. En M0 viennent so confondre trois positions d'equilibre, quand 1 croit,
Fig. 5o.
dans le cas de la figure. Ge point est a la jois un point de croisernent et un point limite.
En designant par (i) la branche qui admet une tangente verti-
Fig.
5o bis.
cale et par (2) la branche qui traverse la precedente, on voit que, dans le cas de la figure, la branche (1) donne des positions d'equilibre qui sont toujours stables, au-dessus comme au-dessous du
point M„. La branche (2) donne des figures d'equilibre instable s avant M0 et stables apres. L'instabilite se change en stabilite, comme dans le second cas.
D'une fagon generate, la nature dela stabilite ne change pas sur la courbe a tangente verticale. La stabilite change de nature an point double sur la courbe qui traverse. La nature de la stabilite sur la courbe a tangente verticale est la meme que dans la partie de l'autre courbe qui n'est pas comprise entre ses branches.
U echange des stabilities n'a done lieu que sur la branche simple. On pourrait continuer la discussion et considerer de> points triples, etc. Les cas que nous venons d'envisager suffiront pour la suite de cette etude.
99. Application au mouvement d'un point sur un cercle tournant.
— Nous allons traiter un probleme elementaire de mecanique rationnelle, en nous placant aux divers points de vue developpes ici, avec les divers cas particuliers.
Soit un cercle qui tourne avec une certaine vitesse angulaire aulour de son diametre vertical. Un point M, assujetti a rester sur ce cercle y glisse sans frottement. On se propose de chercher, en fonction de la vitesse angulaire de rotation, les positions d'equilibre, et d'etudier leur stabilite.
La fonction dont derive la force appliquee au point materiel est
U — mg z h — m M-y2 ;
en prenant Tangle 9 pour la coordonnee qui definit la position du mobile (fig- 5i), on peut l'ecrire
U = mg R cos 0 -h - in to - R- sin2 0 = m co'2 R2 ^ X cos Oh- ^ sin - 0^
en posant
La position du sjsteme depend de 9; le parametre ). varie avec la vitesse de rotation co.
Les positions d'equilibre sont donnees par 1 equation
^^=0 ou L'=sin0(cos0 — a) = o.
