CHAPITRE VIII
Quand 1 varie d'une faeon continue, on oblient des series lineaires de position d'equilibre.
Construisons la courbe correspondant a l'equation d'equilibre. Elle comprend d'abord les droites 9 = o et 6 = zb Arc, qui sont paralleles a l'axe horizontal, et la sinusoid e 1 = cos#, qui serpente
Fig. 5i bis.
iliPi
-rc'vi" m; p"
autour de l'axe vertical (Jig. 5i bis). Ne considerons que la par tie comprise entre — 7i et+7r, et marquons de hachures les regions ou U' est negative.
Nous remarquons que 1 est essentiellement posilif, d'apres sa valeur indiquee plus haut; par consequent, il part de o et peut d ailleurs augmenter indefiniment. Pour 1 = i , nous aurons un point double avec tangente verticale au point M0.
Lorsque ). est tres grand, c'est-a-dire « tres petit, il n'y a que deux positions d'equilibre P et P', car P 'n'est autre chose que P'. P correspond a 0 = o et P' a 0 = n. La position P est stable et P' est instable. II en est ainsi aussi longtemps que i . Ce sont les deux extremites M et M' du diametre vertical du cercle O {fig. 5i). La position M est stable.
Lorsqu'on a o<^<i, il y a quatre positions d'equilibre M,, Mj. M, alors M et M/ sont des positions d'equilibre instable, tandis que M{ et M , sont des positions d'equilibre stable. I le sont les memes points sur le cercle O. La position M est devenue instable.
Quand /. diniinue, c'est-a-dire quand w augmente, 6 tend
APPBLL. — IV.
vers - el les positions d'equilibre stable AJ 4 et M', tendent vers B
el B' situes sur le diametre perpendiculaire a l'axe de rotation.
La position ). = i est a la fois une j>osition limite et une position de bifurcation. En ce point, les positions M, M,, M\ sont confonducs en M0, et c'est une position d'equilibre stable. Onvoit que, conformement a la th£orie generate, la stabilite est de meme nature sur la sinusoide et sur la partie de l'axe des A exterieure a la sinusoide.
100. Systeme a n variables dependant d'un parametre. — Considerons un parametre A. Soit U(</4 , q2-> . . . , <7„ , A) une fonction de n coordonnees et de ce parametre, telle que le systeme est en equilibre stable quand elle est maximum. Les conditions d'equilibre sont alors
dqi Oq-i oqn
De ce systeme d'equations on tirera la valeur des n coordonnees du systeme pour lesquelles l'equilibre a lieu. On obtient d'ailleurs ces valeurs en fonction de A. Quand /. varie, ces valeurs varient egalement et Ton obtient, en suivant une meme serie de determinations des parametres q, une serie lineaire de positions d'equilibre.
Nous poserons pour les solutions du systeme (27)
(28) qi=9i(X), q,= o,{l), . .., qn=on(X).
Ces equations representent une branche de courbe dans l'espace a 71 -\- 1 dimensions. Nous pourrons suivre cette branche de courbe quand 1 variera, et les diverses positions du point variable M de cette courbe representei ont des positions d'equilibre. Partons d'une position d'equilibre stable par exemple, correspondant a une certaine valeur de A, nous n'eprouverons aucune difficulty pour la determination de la nature de l'equilibre tant que certains elements ne s'annulent pas.
Derivons par rapport a I le systeme (27), il vient
dq{
dq..
dqn
dl
dq{ dqz
~dX
dl
Oq 1 dl
