CHAPITRE VIII
a avoir
(3>) Itaikhihk— a, pe^-A'g .-4-'.- . • 4- a,, A;J,.
Le discriminant de la nouvelle forme est egal au discriminant de l'ancienne multipliee par le carre du determinant de la substitution
(33) at 7.0 . . . y.n = AD"2.
On voit que le produit des a ne peut s'annuler que si A s'annule et reciproquement, et que le signe du produit est le meme que le signe de A. Ainsi A ne change de signe que si l'un des a s'annule.
Poincare appelle pour cela les a les coefficients de stabilite du systeme. Pour que l'equilibre soit stable, il faut, comme nous l'avons vu, que lidikhihk soit une forme definie negative. Pour cela, il faut et il suffit que tous les a soient negatifs.
Des que Tun des a devient positif, il j a instability, car en deplacant le systeme de facon que k{ par exemple seul ne soit pas nul, si &i est positif, dans ce deplacement la forme quadratique 2aikhihk sera positive et l'equilibre instable. Si un seul des coefficients est positif, il y a instability du premier degre. Si deux coefficients sont positifs, l'instabilite est du second degre et ainsi de suite.
101. Reduction au cas d'une variable a un parametre. — Pour etudier comment se succedent les positions d'equilibre stable et instable, quand on suit par conlinuite une serie de positions d'equilibre, Poincare a ramene le cas general au cas d'une variable et d'un parametre, de la facon suivante.
Dans la discussion du numero precedent, nous avons tire les valeurs des parametres q en fonction de A, du systeme (27) qui definit l'equilibre
.... dV dl) <)U
dqi dq, dq„
Nous allons maintenant proceder autrenient. Des n -f- 1 dernieres equations precedentes, nous tirons rj.2, ^r3..., qn en fonction de (]\ et de X. Pour que cela soit possible, il faut et il suffit que
soit different de o le determinant fonctionnel suivant :
dq\
dq% <)(]?,
dqt f)cjn
rPV
<)q?, dq>
)qz dqn
dq%
dqn <)q >
0qn dq-i
Or ce determinant n'est autre que ~- > et nous avons suppose
que cette expression n'est pas nulle dans la position d'equilibre etudiee, pour /. = >.„, ni par consequent dans un certain champ voisin.
Ainsi pour \ variant dans un certain intervalle de /.„ — Ik >0 -f- 1, nous pouvons tirer des equations (34) les valeurs des parametres q en fonction de q{ et de X. Alors U (qK , q2 • • • C[n) deviendra U (q, /.) et si U (qt , q2 . . . qn, ^) est maximum en considerant qu q2 . . . qn comme des variables independantes, en remplagant q2,q?,...qn par leurs valeurs en fonction de q^ et de la fonction obte-
nue U(^y,,A) sera encore maximum, et par consequent sera
negatif. La reciproque ne serait pas vraie.
Nous pouvons raisonner maintenant sur U(q{,'k) comme sur une fonction a une variable et a un parametre.
i° Calculons d'abord
dU
dq>
dU dq, dq-i d\
OU dqn dqn d\
Mais puisque U(</,, q2 • . -<7«,^) est la vale 11 r de U correspondant a une position d'equilibre, on a
et il vient
Oq
dU dq\
dqn
dqi
2° Galculons ensuite la derivee seconde, en tenant compte
