CHAPITRE VIII
de (36),
dq\ - dq\
on> dq,
dqx dq, d\
^^i dq„ aX
expression que nous pouvons ecrire sous la forme
)n d*V dq, j*V dqn
dq'\ <)<]\ dq.2 d~k
()q\ dq„ d\
Ecrivons de memo, en les differentiant par rapport a gr4j les n — i dernieres equations (36), on a
dq.
^ d*V dqi
dqn
Oq, 0q\
+ Hi
dq\
dq,dq:] dq\
dq, dqn
dq\
dq.
d-V dq?l
dqn
dq3dqt
dq-.)()qi
dq]
dql dq]
dqzdqn
dqx
dq.
d-li dqz
dgn
dqn dqx
dqn dq.
dqx
dq„ )qs dqx
+ Oql
dqv
Ces n equations (3^), (38) sont satisfaites par hypothese si Ton
remplace les n — i quantires > • Le determinant suivant est done nul :
dgn dqx
par leurs valeurs.
. . aon
ct,„
Ce qui peut s'ecrire
Nous savons qu'avec nos hypotheses on a
Cette relation nous instruit done tin signe de f'n = -7— r> et nous
savons que si la position qK , gr2j <y3, . . . , y/( est stable, cette fonction doit <kre negative.
28o FIGURES D EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
102. Application a la determination des courbes de stability. —
Nous pouvons maintenant appliquer a l'equilibre d'un sjsteme, dont la position depend de plusieurs coordonnees, ce que nous avons dit de l'equilibre d'un sjsteme a coordonnee unique.
Gonsiderons la courbe qui represente graphiquement dans un planles positions d'equilibre. c'est-a-dire
Parlons d'une position d'equilibre stable de notre sjsteme a plusieurs coordonnees. Dans ces conditions, les y. sont negatifs,
comme nous 1'avons vu. et est negatif.
Faisons varier maintenant A d'une facon continue. La valeur de fqs ne change pas de signe tant qu'aucun des a n'est nul. Done le sjsteme reste stable tant que l'un des a ou que fq ne s'annule pas.
Si f'q- s'annule en un point pour lequel on a A = A0 alors l'un des a et un seul s'annule. En efFet, si deux des a s'annulaient, la somme (32) sereduirait a n — 2 carres et par consequent tous les mineurs s'annuleraient pour cette valeur 10, ce qui est contraire a l'hjpothese.
Ainsi la configuration que nous suivons et qui est stable au d£but reste stable aussi longtemps que f\h ne s'annule pas, c'esl-adire aussi longtemps que tous les a sont differents de o.
Supposons maintenant que a, par exemple s'annule, tous les autres a restant negatifs.
i° II peut j avoir une figure limite relative a X].(c[K, X). Dans ce cas, les stabilites s'echangent sur les deux branches de la courbe plane. On voit facilement a quoi cela correspond. Au point M0, fq s'annule et change de signe. Par consequent, <Xi s'annule exchange de signe aussi, et, dans le sjsteme a n parametres, la stabilite fait aussi place a l'instabilite (fig* 49)-
2° II peut j avoir egalemsnt un point double de la courbe
plane, c'est-a-dire de la courbe ~-{J(q{, X) = o. Pour la branche
(i), etant donnees les conditions de la figure, nous savons qu'il j a stabilite pour A< 10 et instability pour a > /0. Pour la branche (2), e'est le contraire ( fig. 49 bis).
Suivons la branche (i) : notre d'abord negatif, s'annule au point double, puis devient positif. Par consequent a, negatif d'abord, comme les autres a, s'annule et devient positif.
Suivons maintenant la branched). De meme /' d'abord positif s'annule pour A — }.0 et devient negatif. II faut done necessairement qu'un des a d'abord positif, s'annule et devienne negatif. C'est d'ailleurs le meme a que precedemment, e'est-a-dire af, puisque pour X = A0 un seul parametre peut s'annuler, par hypothese.
Pour le systeme correspondant a n coordonnees, cela veut dire qu'en partant d'un equilibre stable et suivant une certaine serie lineaire de configurations, la stabilite est conservee jusqu'en A0. Si alors nous continuons a suivre la meme serie lineaire, nous trouvons maintenant des positions d'instabilite, car a, d'abord negatif est devenu positif. Mais puisqu'il y a point double, on peut bifurquer dans une autre direction oii aK reste negatif et oii l'equilibre reste stable.
3° Quand le systeme du plan a un point double avec tangente verticale, nous vojons de meme que pour le systeme a wcoordonnees on peut suivre deux series de configurations d'equilibre. Pour des valeurs A <^ X0, par exemple, on aura trois figures d'equilibre ; pour les valeurs ). >> A0 on n'en aura plus qu'une. On voit alors que si l'equilibre est instable sur la courbe (2) il sera stable apres. et qu'il sera stable sur toute la branche (1).
103. Application a la stabilite des figures d'equilibre d'une masse fluide. — Nous considerons le moment cinetique /jl comme donne.
L'equilibre sera stable si Ton a W — ^ y maximum. Ici le parametre dont dependent les positions d'equilibre stable est fx.
Ilappelons qu'au point de vue des dimensions, en designant par L, M, T la masse, la longueur et le temps, on a pour les formules de dimensions
W = ML- T -. I = ML2, \i = ML- T-' .
Nous allons rendre l'expression W — ^ l~ independante du choix des unites de la facon suivante. Designons par 0 la duree de
la revolution, par T le volume du fluide, et par M sa masse. En remplacant W, I et (J. par les expressions
we* i u.e
