T> MT

\J k et >. ont done bien les memes dimensions : le rapport \\ \J k est un certain nombre abstrait K, et la variation de ).2 est la meme que celle de k.

Ces considerations nous permettent d'utiliser directement les resultats etablis au debut du cours dans la forme meme oii ils ont ete etablis, n° 23. La figure 52 donne en SM0 la courbe des ellipsoides deMaclaurin, enM'0,M0, M„ celle des ellipsoides de Jacobi,

qui se projette en Am0B sur le plan SOt. La cote des differents points representatifs est donnee par la valeur de A2, qui remplace k.

Fig. 52.

Partons de A = o, nous avons une masse fluide immobile et la figure stable est la sphere, car pour la sphere W est un maximum absolu, point S.

Donnons a >. des valeurs croissantes, p. augmente et aucun des coefficients de stabilite ne s'annule tant que nous ne trouvons pas une figure de bifurcation. Les figures d'equilibre sontdonc stables et nous savons que ce sont des ellipso'ides de Maclaurin.

Si /. continue a croitre, le point figuratif monte sur la courbe depuis S jusqu'en E ou M0. Nous savons en effet que la premiere figure de bifurcation qu'on rencontre est precisement E, ellipsoide d'equilibre commun aux Maclaurin et aux Jacobi.

A ce moment, un des coefficients s'annule. Nous savons que le point E est un point limite pour la courbe des Jacobi, mais non pour celle des Maclaurin. Si done nous conlinuons a suivre la branche des Maclaurin, le coefficient qui s'annule devient negatif et l'equilibre instable sur M0E0. Mais, si nous bifurquons, cet a redeviendra positif sur les deux branches des ellipso'ides de Jacobi, oii l'equilibre sera stable sur M0 M'0 et sur M0M'^. Nous sommes en effet dans le cas d'un point double avec tangente a la branche des Jacobi, perpendiculaire a l'axe O).. Comme les deux branches de la courbe des Jacobi sont reelles pour des valeurs ). >* ).0

(/o correspondant a E), nous savons que ces deux branches correspondent a des ellipsoides stables.

Suivons done maintenant la courbe des ellipsoides de Jacobi. Nous aurons encore des figures stables tant qu'aucun des coefficients a ne s'annule, e'est-a-dire jusqu'a ce que nous rencontrions une noiivelle figure de bifurcation, E, ou E, .

La premiere figure que l'on rencontre est celle du jacobien critique E, d'ou derivent les figures pu iformes. Soit X'0 la valeur du parametre en ce point. Que se passera-t-il si Ton continue a faire croitre a? De E a E, les jacobiens etaient stables. Si l'on continue sur cette courbe, on trouvera des jacobiens instables. 11 semble done que pour continuer a trouver des figures stables, il suffise de bifurquer sur la courbe des figures piriformes. Remarquons que cette courbe a un point limite pour E,, et se compose dans le voisinage de deux courbes symetriques, parce que la figure infiniment voisine du jacobien critique peut etre piriforme par le haut ou par le bas, comme on l'a vu. G'est done sur cette courbe que se portera la stabilite, si elle existe. II faut pour cela que les branches de cette courbe soient au-dessus de E,, e'est-a-dire qu'elles soient reelles pour a<a'0. Elles seront stables seulement si ces courbes sont situees au-dessus du plan mene par E, perpendiculairement a O a. Elles ne seront pas stables dans le cas contraire.

104. Instability de la figure piriforme. — On a vu au n° 96 un

theoreme de Poincare d'apres lequel la condition n^cessaire pour

Fequilibre stable est que l'expression W — ~ soit maximum. Mais

cette condition exige que la deformation ait lieu sans frottement, sans forces dissipatives. Or, dans la transformation d'un ellipsoide en un autre ellipsoide, comme pour le passage des ellipsoides de Maclaurin a ceux de Jacobi, avec l'ellipsoide de bifurcation E, cette condition peut se trouver realisee.

En effet, il suffit do concevoir que toutes les couches moleculaires, paralleles a Tun des plans principaux, se contractent ou se dilatent uniformement et normalement a ce plan. La' figure reste ellipsoidale et les molecules subissent toutes une translation proportionnelle a leur distance a ce plan et qui n'introduit aucun deplacement relatif des points voisins, et par consequent, aucun

frottement. Soit par exemple im ellipsoide d'axes a, b, c. Multi-

plions toutes les distances au plan be par colles au plan ac

par ~ > cellos au plan ab par (— > avec la condition a! b' c '— ab c

qui conserve le volume. Nous avons realise un nouvel ellipsoide d'axes a' , b\ c' ', toujours homogene, do meme volume et de m£me densite, sans aucun glissement de molecules l'unesur l'autre.

Schwarzschild (Die Poincaresche Theorie des Gleichgewichts Annalen der K. Sierruvarte, Miinchen, Bd 3, 1898) a fait remarquer que la condition ci-dessus, determinee par Poincare, ne s'appliquait plus aux figures voisines des ellipsoides, comme la figure piriforme, ou la deformation introduit neccssairement des

elissements et des frottements. Le maximum de W — -^-n'etait

plus un criterium suffisant. Schwarzschild montre que la figure stable sera celle dont le moment d'inertie sera le plus grand.

Poincare reconnait le bien-fonde de cette critique, et, dans un important Memoire Suj* la stabilite de tequilibre des figures piriformes affectees par une masse jlaide en rotation (Phil, trans, of the Royal Soc. of London, t. 198, 1901) il reprend la question pour cette figure particuliere. Par une methode remarquable, basee sur l'expression de l'energie d'une double couche, il va jusqu'a la deuxieme approximation pour la forme de la surface et en deduit la condition necessaire et suffisante pour la stabilite. II s'agit de determiner le signe d'une serie dont deux termesseulement sont negatifs, et Poincare donne tous les elements du calcul.

G.-H. Darwin, qui deja s'etait occupe des jacobiens depuis 188^, et qui venait de publier un Memoire sur la traduction des fonctions de Lame, pour les adapter aux calculs numeriques et pratiques, applique alors sa methode au calcul exact de la figure piriforme, et, l'annee suivante, sur les conseils de Poincare, aborde l'etude de la stabilite de cette figure. Jl traduit les notations de Poincare suivant sa methode, pousse le calcul assez loin et en conclut que la figure piriforme est stable. Du moins il lui parait impossible que le residu non calcule puisse changer les resultats.

Le tres important Memoire de Liapounoff sur la stabilite des figures ellipsoidales d'un liquide anime d'un mouvement de rotation (1884), ecrit en russe, ne fut connu qu'en 1904 par la tra-

duction de Davaux dans les yinnales de la Faculty des Sciences de Toulouse. A la demande de Tchebytchef, il avait recherche s'il n'y avait pas d'autres ellipsoides de bifurcation analogues a l'ellipsoide de Maclaurin, qui devient la souche des ellipsoides dc Jacobi, II avait aboutiaux memes resultats que Poincare, et vers la meme epoque. 11 reprend ces questions en 1900, dans une etude gene>ale resumee dans son Memoire Sur un probleme de Tcfiebytchef. 11 d^montre alors que la figure piriforme n = 3 est instable et que des deux figures, positives et negatives, obtenues pour n =/\, la negative est stable et la positive instable.

11 demontre que la figure d'equilibre est stable ou instable, suivant que l'expression

est minimum ou non pour cette figure. Dans cette expression, la densite est i, l'integrale double est etendue a tous les elements dz et dz du volume fluide, associes deux a deux et situes a la distance rl'un de l'autre, M0 est la constante

I designant le moment d'inertie par rapport a l'axe de rotation. Cette expression est, en somme, l'analogue de celle de Poincare, etla remplace pour les figures non ellipsoidales. M. LiapounofT a consacre tout un Memoire a la recherche du minimum de II. Faisant en particulier les calculs numeriques pour la figure piriforme, il trouve que II n'est pas minimum et que la figure est instable.

A la suite de ces travaux, G.-H. Darwin reprend ses calculs et retrouve le meme resultat relatif a la stabilite de la figure piriforme. En 1910, Ladislas Benes refait tous les calculs indiques par Poincare, en parlant des memes formules, mais sans pouvoir pousser jusqu'au bout les calculs numeriques, ni trancher de(initivement la question. Cependant il croit pouvoir affirmer, d'apres l'allure des resultats, que la figure piriforme, est instable. En 191 1, Poincare disait encore dans ses Lecons sur les hypotheses cosmogoniques, p. 189 : « La figure piriforme avons-nous dit, est peut- £tre stable, mais il n'est pas certain qu'elle le soit reellement. Sir G.-H. Darwin a trouv6 que cette figure est stable, mais d'apres

M. LiapounofF elle serait instable. Pour trancher la question, il faudrait recommencer le calcul. Or, ce calcul est extremement penible. »

C'est J.-H. Jeans qui a tranche definitivement la question et conclu a l'instabilite. Ce resultat, annonce et resume dans The Observatory , p. 199, 1916, est publie dans les Memoires of the Roy. Astr. Soc. (t. 62, 1917). 11 reprend les calculs de Darwin en utilisant le second criterium de Poincare et celui de Schwarzschild sur la variation du moment d'inertie I, pour la determination de la nature de l'equilibre au point de bifurcation. En premiere approximation, I reste constant et la ligne de bifurcation reste horizontale. En deuxieme approximation, la ligne de bifurcation est parabolique, mais il y a une infinite de paraboles repondant a l'equilibre au point de bifurcation. La solution n'est done pas determinee si Ton se contente du second ordre. Darwin a calcule l'une de ces paraboles, mais seulement une, et qui conduisait a un equilibre stable. Jeans pousse done les calculs jusqu'a la troisieme approximation. On voit alors qu'il n'j a qu'une parabole bien determinee relative aux conditions d'equilibre. Le moment d'inertie correspondant a ces conditions est decroissant et la figure pirifonne est instable (').

En ce point critique, leb deux figures possibles theoriquement, jacobien et piriforme, deviennent done instables au meme degre, instabilite du premier degre. Toutefois, la deformation de la figure d'equilibre, en bifurquant vers les piriformes, introduit desfrottements et des forces dissipatives, qui font obstacle a la slabilite supplementaire, que pourraient introduire la rotation et les forces gyroscopiques. En suivant la serie des ellipsoides de Jacobi, au contraire, il ne s'introduit pas de frottements. Com me toute autre forme de la surface introduirait des frottements, qui mettraient obstacle par le fait meme a la deformation, l'equilibre, quoique instable theoriquement, pourra se maintenir jusqu'au prochain point critique. Pour n — 4, on aura deux figures d'equilibre dont l'une est stable et l'autre instable. La stabilite abandonnera done definitivement la serie des Jacobi en ce point E,. Les veritables

(') On pourra eyalement consulter au sujet clu calcul de Darwin unc Note de M. Pierre Humbert (Comptes rendus, t. 170, p. r3).

bifurcations de stabilite auraient done lieu pour n == 2 et pour n = f\, en E et en E2, sculement pour les valeurs paires de n.

1 05. Representation graphique generate de la stabilite des figures

d'equilibre. — Pour appliquer d'une fagon plus directe les conclusions elablies au n" i)H par la representation graphique des courbes d'equilibre, prenons la projection des courbes de la figure precedente sur le plan 5OX-, en prenant l'axe a2 ou k comme axe des x et l'axe Os comme axe des y. Nous obtenons les courbes de La figure 53.

Pour >. = o on a s = 1 et le point S representatif de la sphere.

Fig. 55.

01 ~~V kJ~ x7

La courbe SM0M4 represente la courbe des Maclaurin. La courbe EM'0 M0 represente celle des Jacobi. Les courbes des figures de bifurcation viendront couper celles-ci ou s'j greffer.

Les ellipsoides d'equilibre de Maclaurin ou de Jacobi peuvent etre regardes comme des figures d'equilibre a un seul parametre. La condition d'equilibre etudiee au n° 97 est

Elle peut etre remplacee ici par la formule (69) des Jacobi, etudiee au n°23, qui donne k ou l'2 en fonction de s et t

r, iN r/ 7X O -+- iy- rx x(i-h x) dx ,

Aq, X) =/(*, k) = v J- / — — 1 k = o,

(sty J*

ou t est defini com me fonction de s par la relation t = s pour les Maclaurin, et pour les Jacobi par la relation

x rx x dx rx x*- dx (1 — s — l) J — — stj — = ,), ^*-J='(i + x).(i-h,sx)(i-+-tx);

1'expression f \ (s, A) est done fonction seulement de s et de k. Ici A , qui contient le moment de rotation, joue le role du parametre \ et s joue le role de la variable q.

Pour s = t = tQ on a, comme on l'a vu, un minimum de k. La courbe des Jacobi, au voisinagede E ou M0, a sa concavite dirigee vers les X croissants et la stabilite est conservee, d'apres la discussion des courbes de stabilite; la representation graphique etant ici exactement la meme.

Les autres points critiques sont donnes par l'equation

w R*S* Hi Si

Pour les Maclaurin, il faut ajouter la condition R2 =R3, et pour les Jacobi

RvS, RiS, F2= -7 — = o.

Dans ce dernier cas, les Fu et les S/< n'ont qu'une seule valeur pour chaque valeur de n.

Chaque F;I definira done une courbe, qui coupera celle des Jacobi au point correspondant a Tellipsoide critique. Gette courbe dependra d'un parametre q dont la valeur s'identifiera avec celle de s en ce point. On aura autant de parametres q{, q2, . . . , qn et autant de courbes qu'il y a d'ellipsoides critiques, e'est-a-dire un nombre infini. L'equation Fn determine la position de chacune des courbes d'equilibre par rapport a la courbe des Jacobi ou des Maclaurin au voisinage des points critiques. On peut done appliquer directement les resultats etudies plus haut.

Pour la figure piriforme ou n = 3, et pour tous les n impairs, onobtient deux figures symetriques et identiques, par rapport au jacobien correspondant. On a done une courbe formee de deux branches paraboliques ayant leur sonimet et une tangente verticale au point critique et tournees loutes deux du meme cote comme en M'. En efTet, autour du point critique, on obtient la

meme figure piriforme et la memo valeur pour tous les elements de variation pour deux valeurs symetriques zb s du parametre qui determine la deformation. Dans le cas de n = 3, on sait que les branches sont tournees du cote des )i decroissants. II y avait stabilite sur la courbe M0M'0. 11 ja instabilite du premier degre sur les trois autres branches parties de M0, pour les jacobiens et pour les figures piriformes. On a marque sur la courbe I'instabilite du premier degre en traits pleins et fins. Le point correspondant M'0 donne les memes resultats que M'0.

Pour = 4 et pour tous les n pairs, on obtient deux figures differentes pour deux valeurs sjmetriques zb e du parametre. La valeur du moment d'inertie I, et des autres elements, passe de la valeur I+oI a I — ol en traversant le point critique. La courbe representative A2, J2, A!, coupe celle des Jacobi sous un certain angle, sans revenir en arriere. II y a simplement echange des stabilites. Le coefficient de stabilite oc, des Jacobi devenu positif en J, , reste toujours positif. Le second coefficient a2 s'annule et devient positif en J2. La branche des Jacobi, instable du premier degre entre J 1 et J2, devient instable du second degre en J2. La branche J2A0 de la nouvelle figure d'equilibre conserve le meme degre de stabilite ou d'instabilite que la branche J|J2, instable du premier degre. L'autre J2 A2 prend un nouveau degre d'instabilite. Le coefficient de stabilite est commun aux deux courbes. II s'annule et change de signe pour les deux. L'une des nouvelles figures de bifurcation est stable, par rapport a Vellipsoide de bifurcation, et l'autre instable. G'est bienle r^sultat trouve par LiapounofF.

Pour n— 5, on a le point J3. Les Jacobi prennent une instabilite du troisieme degre. Les figures d'equilibre voisines conservenl I'instabilite du deuxieme degre si leur courbe representative est oriented comme sur la figure, ou prennent la meme instabilite du troisieme degre si elles sont orienlees comme celles de la figure piriforme. Ce dernier resultat est plus probable, car la deformation est du meme genre pour n — 5.

On aura des resultats analogues sur la courbe des Maclaurin ou n = 3 donnera un ellipsoide de revolution creuse par trois fuseaux, soit M< , et n = 4 avec p = o donnera deux figures, dont l'une correspondra a l'experience de Plateau, soit M2, point critique analogue a E2 des Jacobi.

A chaque point critique, l'un des coefficients de stabilite s'annule, par consequent le degre d'instabilite des Maclaurin et des Jacobi augmente cbaque fois d'une unite. A la limite, le disque aplati 011 Paiguille allongee sont infiniment instables. Mais l'aplatissement progressif de ces ellipsoides peut se faire de fagon reguliere sans introduire de frottements ni de forces dissipalives, comme onl'a vu. D'ailleurs, on peut toujours admettre que, malgre l'instabilite de cet equilibre, les conditions etant rigoureusement conservees, cet equilibre se conserve assez pour que revolution se poursuive.

La deformation est alors limitee dans le cas des figures impaires et des figures paires negatives par le fait que la valeur de £, interieure a 1'ellipsoide, ne peut pas depasser la longueur du plus petit rayon de courbure. Pour les figures positives, au contraire, on peut augmenter la valeur de £ et du creusement interieur, et admettre que les equations s'appliquent encore, au moins approximativement. Alors, pour n = 4, on aboutiraitfinalement a la formation de l'anneau de Plateau pour 1'ellipsoide de revolution de Maclaurin. Le second ellipsoide critique de Jacobi aboutirait de meme a la formation de deux satellites symetriques d'un astre central plus volumineux. Onaurait un systeme triple au lieu du systeme double qu'aurait du donner la figure piriforme. II est peu probable, toutefois, que les satellites et les etoiles multiples se soient constitues ainsi par formation centrifuge, car les distances actuelles sont trop considerables pour s'expliquer a partir d'astres qui auraient ete primitivement au contact.

106. Stabilite ordinaire ou temporaire des figures d'equilibre. — Dans toutes les demonstrations ci-dessus, il s'agit de la stabilite seculaire des figures d'equilibre, stabilite qui subsisterait meme dans le cas de frottement et de forces dissipatives. H. Pomcare a aborde egalement, dans son Memoire des Acta mathematical l'etude de la stabilite ordinaire des ellipsoides de Maclaurin et de Jacobi, en la ramenant a l'etude de leurs petits mouvements fondamentaux. G'est la stabilite qui ne subsisterait que temporairement, s'il s'inlroduisait des frottements.

H. Poincare a monlre que pour les ellipsoides de revolution de Maclaurin, la stabilite ordinaire persiste encore apres la bifurca-

lion des Jacobi a trois axes, pour des ellipsoides plus aplatis, alors que la slabilile seculaire passe aux ellipsoides de Jacobi. Riemann avait montre deja ('), dans l'hypolhese restreinte ou la masse conservait une forme ellipsoidale dansla deformation, que la slabilile ordinaire se maintenait jusqu'a ce que l'applatissement des ellipsoides de revolution atleignit la limite 0,697.

Apres l'etude de Poincare, M. Brjan en etudiant en detail les petits mouvements des ellipsoides de Maclaurin, regardait comme ires probable la validite generale de la limite donnee par Riemann, mais sans pouvoir en donner une demonstration rigoureuse. Tout recemment M. E. Cartan a reussi a donner cette demonstration dans unM^moire du Bulletin des Sciences mathematiques, t. 46, 1922, p. 332-342.

Pour les ellipsoides a trois axes, H. Poincare s'£lait contente de declarer, comme probable, que la stability ordinaire s'etendait egalement au dela de rellipsoide de bifurcation de la figure piriforme, oii cesse leur stabilite seculaire.

M. E. Cartan dans un nouveau Memoire a montre au contraire que la stabilite ordinaire des ellipsoides de Jacobi cesse en m£me temps que leur stabilite seculaire a la figure piriforme. II montre que ceci resulte d'un theoreme plus general et assez curieux : Pour les figures d'equilibre d'ordre n impair la stabilite ordinaire cesse en m6me temps que la stabilite seculaire. C'est le cas de la figure piriforme ou ovoide n = 3. Dans le cas de n pair, la stabilite ordinaire subsiste encore un certain temps apres qu'a cesse la stabilite seculaire.

107. Figures annulaires. L'anneau de Saturne. Masses indefinies. Le cylindre elliptique. — Poincare a etudie, au point de vue de l'equilibre, les trois hypotheses que Ton peut fairesur l'anneau de Saturne : anneau solide, ou liquide, ou compose de particules solides. Le calcul s'accorde avec les donnees de l'observation pour conclure que la troisieme hypothese, hypothese de Gassini, peut seule cadrer avec la realite. (Figures d'equilibre dune masse fluide, Chap. VIII.)

(') Gotlingen, Abhanlungen, 1. 9, i860, p. 3. (2) Phil. Trans., t. 180, 1888, p. 187.

Laplace est le premier qui ait examine l'lrypothese d'un anneau solide. II a montre que si l'anneau etait homogene son equilibre serait instable. Des que le centre de l'anneau ne coinciderait plus avec le centre de la planete, l'attraction de Saturne tendrait a augmenter l'ecart. L'anneau tomberait sur la planete.

II faut done que l'anneau presente des irregularites. Maxwell a fait ce calcul. II a montre, en admettant une seule masse supplementally, qu'il fallait j concentrer les quatre cinquiemes de sa masse pour le rendre stable. II faudrait en somme le transformer en un satellite, dont l'anneau serait un appendice.

Radau a examine le cas 011 la densite varierait d'une fagon continue d un point a un autre. II faudrait qu'elle varie de 2,7 a o,o4 ou de 67 a 1, ce qui semble invraisemblable.

De plus, la section de l'anneau etant mince, il lui faudrait une grande resistance pour resister a l'attraction des satellites. Hirn a calcule qu'il lui faudrait une resistance 1000 fois superieure a celle de racier. L'anneau de Saturne ne peut pas etre solide.

Laplace a fait le calcul du potentiel et de la formule generale de la surface d'equilibre dans le cas d'un anneau fluide. II a etudie le cas d'une section circulaire ou elliptique, mais sans discuter completement l'equation.

Mme Kovalewski qui a fait cette discussion a montre que la section ne pouvait pas etre ellipsoidale ni sjmetrique par rapport a un axe parallele a l'axe de rotation.

Maxwell est le premier qui ait soumis au calcul l'hypothese de Cassini, et montre que e'est la seule qui reponde aux conditions mecaniques de l'equilibre. L'observation confirme d'ailleurs egalement bien 1'hypothese, car l'anneau est transparent et la lumiere le traverse sans trace dc refraction. II faut done supposer qu'il est compose de corpuscules isoles les uns des autres. Les observations spectroscopiques montrent d'ailleurs que la vitesse d'une molecule de l'anneau n'est pas la meme sur le bord interne que sur le bord externe.

Maxwell montre que le mouvement de perturbation se transmet d'un corpuscule a un autre avec un certain retard, a la facon d'une onde. Pour que ces ondes n'amplifient pas indefiniment une perturbation, il faut que la masse ne depasse pas tine certaine limite qu'il calcule. On peut en deduire la densite limite de l'anneau, connaissanl scs dimensions. Cette densite exi<ree pour la stabilite

>.94 figures d'equilibre d'une masse liquide en rotation.

tie l'lfguilibre est la meme dans le cas d'un liquide et des corpuscules solides. II faut que cette densite soit plus petite que i : 3oo. Aucun liquide connu ne petit remplir cette condition.

D'ailleurs dans le cas de l'anneau liquide il faut que la pression a la surface soit dirigce vers l'interieur. Or Laplace avail deja montre, qu'en admettant deux anneaux a section elli[)tique, la

densite aurait du etre superieure a - pour l'anneau exterieur et a

•a pour l'anneau exterieur. 11 y aurait incompatibility avec la limite de Maxwell.

Poincare avait demontre que la vitesse de rotation, dans le cas d'une masse homogene et quelle que soit la forme, ne peut pas depasser une limite donnee par la formule du n° 17 :

h = °\ < i , to2 < 2 ~ f p.

II en deduit, pour l'anneau de Saturne, suppose liquide et quelle que soit la section de l'anneau, que sa densite doit etre superieure a i : 1 6, pour qu'il j ait equilibre. Cetle limite est encore incompatible avec celle de Maxwell et l'anneau de Saturne ne peut pas etre liquide.

Remarque. — L'attraction d'une masse indefinie n'a pas de sens defini en general. Mais, si la masse affecte la forme d'un cylindre indefini homogene, on montre que l'attraction a un sens defini et peut se calculer. De la, le probleme purement mathematique, sans application a la cosmogonie, de la recherche des figures d'equilibre d'une masse liquide homogene indefinie, affectant la forme d'un cylindre, qui tourne uniformement autour d'un axe fixe parallele aux generatrices.

Le probleme d'ailleurs se simplifie beaucoup et se ramene a l'etude de l'equilibre d une section plane normale aux generatrices du cylindre et par consequent a un probleme a deux dimensions.

Parmi les figures possibles, on trouve le cylindre circulaire quand 7i/p < to-<C ^7r/p, etle cylindre elliptique quand < r.fp.

M. Jeans, puis Globa-Mikhailenko ont publie d'interessants travaux sur les figures d'equilibre possibles, et notamment stir la recherche des figures cylindriques elliptiques de bifurcation au sens de H. Poincare.