CHAPITRE IX
FIGURES D'EQUILIURE D'UNE MASSE LIQUIDE HOMOGENE EN ROTATION ET SODMISE A LA TENSION SUPERF1CIELLE.
108. Historique de la question. — La question etudiee dans les chapitres precedents conduisait a la determination de la figure des planetes et a revolution, de leur forme avec l'aceroissement de la vitesse de rotation. L'etude de ces formes avait raeme conduit de grands espritsa envisager l'hypothese qu'une masse en rotation pouvait se fractionner en plusieurs parties et a voir la, apres H. Poincare, un moyen d'expliquer la formation des planetes a partir du Soleil, on des satellites par leur planete (Darwin) ou des etoiles doubles (Jeans). Nous avons vu que les calculs pousses plus Join ne permettent pas d'envisager le fractionnement d'une masse hornogene.
Cependant l'experience celebre de Plateau, au mojen d'une sphere d'huile tournant dans un liquide de meme densite, avait abouti a la formation d'un anneau detache de la masse centrale par la force centrifuge, et qui se fractionnait lui-meme en parties plus petites. On y a vu l'image de la formation des planetes et des satellites et la justification experimentale de la celebre hypoihcse de Laplace.
II faut dire tout de suite que Fhypothese et l'experience en question n'ont iibsolument aucun rapport entre elles. Dans l'hjpothese de Laplace, ei dans la realite, la forme des corps en rotation depend uniquement de l'altraction mutuelle de leurs parties. Dans I experience ph ysique au contraire, l'attraction est completement n^gligeable, el l;i forme depend uniquement de la tension superficielle, et non des forces internes.
Neanmoins l'experience de Plateau posait un probleme mathematique int6ressant, et qui se rattache etroitement a celui qui a ete etudie dans led premiers chapitres. A finstigation de P. Appell il a et6 entrepris parM. Globa-Mikhailenko, repris par M. Boussinesq, puis, sur les conseils de ce dernier, par M. A. Charrueau, qui en a fail l'etude complete, etendue au cas des figures annulaires et de la stabilite.
M. Globa-Mikgailenko a donne la forme generale de la courbe meridienne, en exprimant son ordonn^e a l'aide d'une certaine integrate hyperelliptique. Puis il a donne une discussion generate du probleme et integr6 l'equation du meridien, au mojen des fonctions elliptiques, dans un cas particulier tres important. Mais il n'a pas pousse l'etude de ce cas jusqu'a la determination de la forme d'une masse liquide, de densite et de volume donnes, soumise a une rotation donnee.
M. Boussinesq, en reprenant le probleme, a montre l'importance qu'il y avait a introduire la consideration de la masse, du volume et des donnees physiques, qui permettaient seules de determiner les dimensions des figures, en meme temps que leur forme. II a donne du probleme un enonce simple et independant de la theorie g^nerale de M. Globa-Mikhailenko et une solution par de>eloppements en series, applicables pour certaines valeurs des donnees.
M. A. Charrueau, dans un premier travail, a reussi a donner la solution complete du probleme et de revolution des figures d'equilibre, quelles que soient les donnees physiques, avec le seul secours des integrales elliptiques, mais cela seulement jusqu'a la transformation de la masse en anneau. Sur les conseils et indications de M. A. Veronnet, et dans un second travail, qui a fait l'objet d'une These, il a etendu ces resultats aux figures annulaires elles-m&mes, avec application a l'experience de Plateau.
Le present chapitre est extrait de l'excellente these de M. Charrueau. L'ensemble des travaux relatifs a la question est indique a la fin de la Bibliographic
109. Equation de l'equilibre de la surface libre. — Nous considerons une masse liquide homogene et incompressible tournant autour d'un axe avec une vitesse angulaire constante, et soumise seulement a la force centrifuge eta la tension superlicielle. II s'agit
