CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE. ETC
de determiner la forme exterieure qu'elle prendra sous Taction d'une vitesse de rotation donn£e et quelconque.
Prenons l'axe de rotation pour axe desy et une perpendiculaire a cet axe pour axe des x. Les figures etudiees seront de re olution autour de Oj, et symetriques par rapport a un plan equatorial normal a cet axe. La section meridienne sera symetrique par rapport aux deux axes, et il suffira d'etudier la forme de la portion de courbe situee dans le premier quadrant.
Soient p la densite, go la vitesse angulaire, p la pression en un point interieur, p0 la pression constante sur l'axe de rotation. A l'int6rieur de la masse les particules sont soumises a la seule force
centrifuge, qui derive du potentiel i w2 (x2 -f- z2). La formule
generale de Fequilibre hydrostatique (48) (Chap. IIT) s'ecrit
Les surfaces d'egale pression sont des cjlindres de revolution autour de l'axe definis par r2 = x2-\-z2. On pourra ne considerer que la section meridienne et faire z — o.
Sur la surface libre, il faut ajouter le potentiel du a la tension superficielle J\ et la pression interne p devra equilibrer en outre la pression exterieure que nous supposons partout constante. On aura
(2) />i = Po+ IpwW-A-f^ -h ^ ,
R est le rayon de courbure du meridien, R' l'autre rayon de courbure principale de la surface, le centre de courbure correspondant se trouvant sur l'axe de revolution.
Cette equation definit l'equilibre de la surface, en fonction des forces et des donnees, p,/, /;,, w.
1 10. Equation differentielle du meridien. — II faut exprimer les rayons de cor.rburcs R, R' en fonctions des coordonnees xy y. On a les formules
ag8 FIGURES DEQUILIBR E D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
Faisant la somme de ces deux valenrs et la portant dans (2) il vient
On mulliplie par x et l'on integre, d'ou
Pour les masses non annulaires, qui sont coupees par l'axe de rotation, la constante C est nulle. En elFet sur cet axe x = o, 1'expression en y' n'est jamais infinie, et il faut C = o. II vient alors en divisant par x, et prenant le signe — devant y\ signe qui convient dans le premier quadrant, 00 j'<] o, pour o) faible, il vient
(6) ~y' = P»~P' r+ P^!.ra.
Sur l'axe de rotation on a x — o, d'ou o. La tangente au meridien est normal a l'axe de rotation, pour les deux points situes sur cet axe. Pour les figures non annulaires d'equilibre la surface coupe toujours normalement l'axe de rotation.
Designons par a le rayon equatorial, a l'extremite de ce rayon, pour x = a, la tangente au meridien est normale a Ox: y' = — 00 et (6) nous donne
Gette relation permet d'eliminer les pressions p0, pt , et (6) devient
— f ( ?^-az \ x , p<*>3 V/TTT^ - V 8/ / a Sf
On en deduit immediatement l'equation differentielle de la courbe meridienne
(9) 7'=-===' dr = —
111. Forme generale de la courbe meridienne. — Nous pouvons faire sur (8) une remarque fondamentale. c'est que y' peut
