CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE, ETC
s'exprimer en fonction de a?, an moyen d'un seul parametre, que nous designerons par h, et qui contient toutes les autres donnees p, w, a, f. On a en effet,
(10) /i=-8T' '•(j7) = ('-'iH-/^)«-
II suffira done de donner a A toutes les valeurs compatibles avec (8), pour obtenir toutes les figures d'equilibre de la masse liquide.
Pour h = o, on a gj = o, la figure d'equilibre est une sphere.
On a vu (8) que sur l'axe, pour x = o, on avait toujours y' = o, et la tangente au meridien normale a l'axe Oy. Pour A<i, il n'y a pas d'autre racine de + ni de y\ pour x compris entre o et a. La tangente y' decroit regulierement de o a — oo de l'axe de rotation au cercle equatorial. La section meridienne et la surface libre sont partout convexes.
Pour // >> i il y a une autre racine xx de ty(x) et de y' entre o et a,
Vutour de l'axe de rotation pour x <^x{ on a y'^> o d'apres (8)
Fig. 54.
|A cc
la surface est creus6e et concave, partie BH. Elle redevient convexe pour x\> xs , en HA {fig. 54).
La figure se creuse de plus en plus, quand h croit, devient annulaire pour h = 2,0*2. Au dela, les Equations ci-dessus ne conviennenl plus au probleme. II faudra considerer les equations
3oo FIGURES D EQUILIBRE DUNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
relatives aux figures annulaires, ou la constante G de (5) n'est plus nulle et ou nous retrouverons egalement le parametre h.
De plus le denominateur de (9) s'annule toujour! pour 'h{x) — 1 , c'est-a-dire x = a, ou Ton a y'= — 00. Or on voit facilemenl qu'on a toujours, en dehors de cette valeur, <\>(x) <C h pour &<4« La tangente y' ne prendra pas d'autre valeur infinie dans Fintervalle considere h < 2, 32.
L'equation (9) definira parfaitement la courbe meridienne.
112. S'il n'y a pas de pression exterieure la figure reste convexe .
— L'expression (7) devient, en introduisant h,
(12) po—pi = -~ (1 — h).
II faut que p{)1 la pression interne sur l'axe, soit toujours positive ou nulle. Si la pression exterieure est nulle, pt = o, (12) montre qu'il faut avoir /*<i. La figure reste convexe d'apres la discussion precedente. II ne peut pas y avoir d'anneaux. C'est done Taction de la pression exterieure qui creuse la masse autour de l'axe de rotation, ou la force centrifuge est la plus faible, et conduit a la formation des anneaux.
Si la pression exterieure /?, n'est pas nulle, la condition (12) devient pour p0^ o
Or au pole, pour x = o, les rayons de courbures sont egaux, R=:R'=R0. La formule (2), d'apres (7) ou (12), donne
Ro 2/ a
Au moment de la formation des anneaux, la surface est concave au p6le, on a R() negatif. De plus on demontre que le rayon de courbure est egal alors a 1,2- ou r est le rayon de la sphere ayant le meme volume que la masse. On a done
(>*> /" ^ P^Sfr-
Dans les experiences de Plateau, cette pression minimum, neces-
