CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE. ETC. 3d
saire pour la formation des anneaux etait de o,o3 gr:cm2, alors que la pression atmosphe>ique est superieure a 1000 gr:cm2.
113. Cas dune faible vitesse de rotation. Ellipsoide de revolution. — Quand la vitesse de rotation est nulle, la figure d'equilibre est une sphere. II est naturel de penser qu'ensuite on aura un ellipsoide de revolution legerement aplati, pour une faible vitesse de rotation.
Le ravon de courbure de la section meridienne donne par les lormules (3) et (8) peut s'ecrire
(.6) i = f -=JL = f = i=* +3^.
\i ax J l j yi ax a b /
D'ailleurs l'equation de l'ellipse, en appelant e l'aplatissement et negligeant e2, donne
La derivee de cette expression par rapport a x nous donne 1 : R d'apres (16). On voit que les deux expressions s'identifient en ecrivant
(18) e — h = - — rjr- = -. co - . M = - %oa2b = - -pa3(i — e),
ou M est la masse totale. La courbe meridienne est done une ellipse, dont l'aplatissement est egal au parametre h et proportionnel a w2, comme dans le cas de la gravitation. .
On verifie d'ailleurs imm^diatement que les deux rayons de courbure d'une ellipse, aux deux sommets des axes, R = a2 : b et R = b- : a, verifient bien l'equation (16) pour x — o et x — a.
114. Integration complete de l'equation differentielle par les fonctions elliptiques. — Faisons le changement de variables suivant dans 1' expression b(x) (8) :
(iy ) — = i, 1 — k .+. h — — i— h 4- hi == tp(f).
L'expression difterentielle (9) devient
a ®{l)dt y 1 f* z(t)dt
2 V/I^?2(<) a ■>.JL
La derniere expression donne 1'ordonnee de la courbe meridienne, l'integration etant faite a partir du sommet du grand axe 011 x = a,
t= 1 et y = o.
L'expression sous le radical est du troisieme degre en t. On a done une integrate elliptique. On peut la ramener a des integrates de premiere et de seconde espece de Legendre, dont les valeurs sont donnees par les tables de Legendre. On pourra calculer ainsi la courbe meridienne, y en fonction.de x, pour n'importe quelle valeur de h.
Comrae on a to uj ours A<4> la quantite sous le radical n a toujours qu'une seule racine egale a 1. On peut l'ecrire
l—t Cp2(«) = (i/)[A2/2 f +
Posons, 9 etant une nouvelle variable, qui remplace t:
(21) 1 — £ = Xtang2-, — dt = X tang 1
2 9 cos2 -
avec c2<^i. En transformant tang- | en cos<p et developpant, le
coefficient de coscp sous le radical ci-dessous s'annule, et Ton obtient
dt — c/o
v(! — 0 KfeP-h h(2 — h)t~hi] h y/X y/ 1 — c2 sin2c
1 — AX tang2 - 0 \J 1 — c2 sin2 9
D'autre part on obtient identiquement
