CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE, ETC. 3o
En integrant de o a 9 cette expression on oblient
tans2 - do
= 2 tang — \J\ — c- sin- 3 + F(c. 9) — 2 E(c, 9).
1 — c- sin- 9
F(c, 9) et E(c, 9) representent les integrates de premiere espece et de deuxieme espece de Legendre, calcuiables par les tables.
Cette derniere expression, portee dans (22), donne pour la valeur de l'ordonnee du meridien
•i3 ) — = \J\ E(c, 9) — \j\ tang - yi — c- sin- 9 — — F (c. 9),
9 est la fonction de £ 011 de - definie ci-dessus (21). Pour chaque valeur de x, on aura une valeur et une seule pour y (fig- 54).
115. Pour la meme valeur du parametre unique h, toutes les figures d'equilibre sont semblables. — En effet, d'apres la formule (23), y ne depend que de 1, c, h et 9. Or les constantes 1 et c ne dependent que de h, et 9 ne depend que de t et de X, c'est-a-dire de ^ et de h. L'expression (23) est done une fonction
de h et de - seuls
(24) a=<Kv^)' y = *Vhx).
Par consequent, pour deux figures d'equilibre correspondant a deux valeurs egales de h (10), la densite 0, la vitesse de rotations, l'axe equatorial a, la tension superficielle f, etant tous differents
dans les deux cas, a toute valeur de ^ correspondra la meme
valeur de ^ dans les deux cas d'apres (24). En prenant le rayon
equatorial a com me unite, les equations de la courbe meridienne d'equilibre sont identiques (24, 2). Les deux courbes meridiennes et les deux surfaces d'equilibre sont identiques. Pour une valeur donnee de li toutes Jes (igures d'equilibre sont homothetiques a l'une d'entrc elles, celle ou Ton aura fait a = 1 par exeniple, et le rapport d'homothelie de cliacune d'elles par rapport a celle-ci sera egal a <i .
3o4 FIGURES D EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
Pour connaiLre exactemenl routes les figures d'equilibre, comprises entre la sphere et eelle qui aboutit a un anncau, il suffira de calculer par la formule (28) les courbes meridiennes correspondant a autant de valeurs de h que Ton voudra, comprises entre o et 2,32 valeurs limites de h. en y faisant a = 1 .
Apres avoir determine ainsi la forme de chacune de ces figures, on les obtiendra en vraie grandeur en calculant la valeur de a, qui correspond aux donnees du probleme dans chaque cas particulier, pour telle vitesse de rotation « par exemple.
116. Etude de la variation du rayon polaire. — Le rayon polaire b est la valeur de y sur l'axe de rotation. 11 s'obient en faisant x — o dans l'expression (20), (23) ou (24) de y
, oil) dl .
^ est done fonction uniquement de h et se calcule commej.
D'autre part, en derivant (25) sous le signe somme, par rapport a /*, on obtient d'apres (19)
d b 1 C 1 (l-i)dl
dh
Cette expression est toujours negative, car tous les elements differentiels sont negatifs, puisque Ton a t < 1 pour x compris entre o et a limites d'integration.
Le rayon polaire b decroit done continuellemenl, quandle parametre h croit. Pour h — o, on a b = a, et cp (t) = 1 , d'ou
> d b I rl dt b
La tangente a la courbe de b fait un angle de 45° avec les axes.
On trouve ensuite par des tatonnements sur differentes valeurs de h que 6 = 0 pour h = 2, 32. Pour cette valeur du parametre le rayon polaire devient nul, la masse se transforme en une figure annulaire.
La variation de b : a par rapport a h est representee par la
