CHAPITRE IX. — FIGURES D^EQUILIBRE, ETC. 3o
courbe dc la figure 55. Cette variation est sensiblement lineaire a
partir de la valeur A = c'est-a-dire pour les figures qui sont creusees aux poles.
117. Etude de la variation de la vitesse de rotation. Maximum de cette vitesse. — Le parametre h contient w2a3. Le calcul du volume invariable V de notre masse liquide, contiendra #:! et permettra d'eliminer a3 de h et des autres expressions en h. Nous obtiendrons alors w2, ou la vitesse de rotation go en fonction du seul parametre h.
En coupant notre masse liquide de revolution en tranches elementaires normales a l'axe de rotation, et d epaisseur dy on aura
v. 27) Y — x-dy—xa* I —
d0 d0 Ji — t^-U
La formule est encore valable pour les surfaces concaves autour de l'axe de rotation, ou les sections normales a l'axe peuvent couper deux fois la courbe meridienne.
Or on a identiquement
d 1 y*(t)-h2hl cp(0
2 I — t Cp2(Z)
En integrant ccite expression de o a 1 et tenant compte de (27 on a
1 =i (1 — A) — -tt - A — j
API'ELL. — IV. 2(t
3()f> FIGURES D'EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
remplacant li par sa valeur (10) dans le dernier terme, on obtient o)2p V oil p V est egal a la masse M, d'ou finalement
b : a est fonetion uniquement de h d'apres (25). 11 en est done de raeme de la vitesse de rotation w, d'apres (29). Gette formule permet de la ealeuler facilement pour chaque valeurde h, par la meme formule <I>, qui donney et b.
En derivant w2 par rapport a h on a
3M doS- 16/ ~dh
dh a
Pour w — o on a /i = o, et b = a puis - = — 1 d'apres (26').
Le second membre de (3o) est egal a 2. La courbe de cj par rapport a h part de l'origine avec cette valeur de la tangente.
On peut ealeuler ensuite w en fonetion de h au moyen de (26) et (26). On demontre que la derivee seconde est toujours positive. La courbe tourne toujours sa concavite vers le bas. Elle a done un maximum.
La vitesse de rotation a un maximum qui est determine par la valeur 1,662 de h qui annule le second membre de (3o). Gette
Fig. 56.
valeur de h et celle de &>a qui lui correspond se calcule par des approximations successives :
A = i,G62,- — — . co2 = 1 , i375.
La vitesse de rotation diminue ensuite a partir de cette valeur de
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A jusqu a la formation d un anneau, ou Ton a, d'apres (29),
U U • ft 3M •
b = o. /t = 2,02, — tt- u)a = I.
Cetle valeur He coa est la meme que celle qui est donnee par (29) pour h = ii ou la figure commence a se creuser aux poles.
La courbe de variation de w2, en prenant le premier mcmbre de (29) com me ordonnee, est representee par la courbe de la figure 56.
118. Variation du rayon equatorial. — La vitesse de rotation etant definie comme uniquement fonction de A, nous pouvons tirer a:t de l'expression meme du paramelre A, en fonclion de to2 et de h. C'est egalement une fonction de A seul. On a
(3i) a3= — — ' A = hrr-'
Son calcul dependra, comme celui de go2, de b et de uniquement de la fonction <I> definie par (26), (24) et (23).
On montre que a est toujours croissant avec A. Si Ton designe par 1 sa valeur pour la sphere w = o, il prend la valeur i,43 pour la valeur maximum de la vitesse de rotation A = 1,66, et la valeur 1,67 au moment de la formation de l'anneau.
La courbe de ces valeurs de a etant tracee par rapport a A on en deduira la vraie grandeur des figures d'equilibre pour toute valeur de A, par consequent pour toute valeur des donnees.
119. Expression du moment d'inertie et de l'energie. — En coupant la masse par des tranches elementaires normales a l'axe de rotation, d'epaisseur c/j', on aura pour l'expression de la surface, en tenant compte de (9) et (20),
(32) dS = 2 - x ds,
— !\- I \/i ^-y''lx dx = it. a- I — — •
Jq J0 yi — * <p'2(0
(Test I'integrale de Legend re de premiere espece F(c, 9) deja trouvee I 23 ) dans 1'integration de la courbe meridienne y. 11 faut
3o8 figures d'equilibre d1une masse liquide en rotation. donncr ici a 9 sa valeur o0 correspondant a x = o, on a
Le moment d'inertie pour un des disques elementaires et pour l'ensemble sera
(33) dl = - pxa* dy, I==p* fx*dy= ±pxa* f J=J&£L- 2 J 2 J0 V/I^cp2(^)
Or on a identiquement, d'apres (19).
dl 2 v/i — « ?2(0
En integrant cette expression de o a 1 , le premier membre est nul et en tenant conipte de (33), (32), (27). On obtient la relation
,Q/, S 3(i — A) V 5/i al
•2 -a- 2 ~a'> 2 ~oa»
On obtient ainsi l'expression remarquablc du moment d'inertie I en fonction des expressions de la surface S et du volume V, deja calcules. Le facteur commun i%a- disparait de l'expression cidessus et le coefficient de I se simplifie en tenant compte de la valeur (10) de A,
3 to1 \ a J 5io- \ R0/
R0 est le rajon de courbure au pole, donne par (i4)-
L'energie potentielle de la tension superficielle est egale a /S, l'energie cinetique a -jl^2. On aura done pour l'energie totale de la masse
120. Condition d'equilibre deduite du principe des travaux virtuels. — Le travail virtuel du a la force centrifuge est egal a-&>2dl, ou dl represente une variation quelconque du moment
d'inertie. La vitesse de rotation co etant supposee inalteree par la deformation.
