CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE, ETC. 3oQ
Le travail virtuel dil a la tension superficielle est egal a la variation do I'energie potentielle /S de cette tension, done egale a-/3S.
Enfin le travail de la pression exterieure p{ est egal a — p{dV.
Si nous considerons une deformation respectant les liaisons, nous avons 5V = o, le liquide etant suppose incompressible. Le travail virtuel du a la pression exterieure p\ est nul.
Le principe des travaux virtuels exige, pour l'equilibre, que dans toute deformation imposee la somme des deux premiers travaux virtuels soit nulle. Comme les deformations respectent les liaisons nous pouvons ecrire dl et dS, au lieu de 61 et <5S, et la condition d'equilibre devient
121. Stabilite de l'equilibre. — La formule (3^) montre que, dans une deformation compatible avec les liaisons, le travail total de la force centrifuge et de la tension superficielle est la differentielle exacte d'une fonction de forces U
(38) £ i = - I co- — /S 4- const.
La fonction des forces — /"S correspondant a la tension superficielle est egale et de signe contraire a I'energie potentielle /S de cette tension. On a une formule analogue a celle de Poincare.
D'autre part, nous avons vu que toutes les figures d'equilibre dependent seulement de deux parametres, h pour la forme et a pour la grandeur. Or h contient cv> et a. Nous pourrons considerer ces figures, et les fonctions qui en dependent, comme des fonctions des deux variables w et a.
Pour une valeur donnee de la vitesse de rotation, les conditions d'equilibre s'ecriront done en exprimant que la derivee de U par rapport a a est nulle :
dl) i ,dl rdS
C'cst la condition (3^) trouvee plus haul.
Pour que l'equilibre soit stable, il faut et il suffit que U soit
3lo FIGURES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
maximum, on la derivee seconde negative,
d*U i 9d*S/dl 2 A i /dsydn da* ~~ 2 W rfa* \ o)2 )~*~ 2" \da) 35*'
Gomnie la parenthese est nulle pour une position d'equilibre, on a
. ^*ii i ./d$y<pi d*\ ^
Or est la derivee de ^ donne par (3^), et qui varie en sens
inverse de go2. Done quand la vitesse de rotation go croit, depuis
zero jusqu'a son maximum, ^ decroit, done est negatif et
egalement. L'equilibre est stable. Quand w decroit depuis sa
valeur maximum, jusqu'aux figures annulaires, l'equilibre est instable.
122. Cas des figures annulaires. — A partir d'une certaine vitesse de rotation, et d'une certaine valeur du parametre A, la masse ne touche plus l'axe de rotation et prend la forme d'un anneau. Les equations du probleme et leur discussion sont plus compliquees et il faut reprendre l'etude precedente sur ce nouveau probleme.
L'equation de la figure d'equilibre est la meme que (2). On en deduit par integration la meme equation (5) en y1. Mais ici on ne peut pas faire x — o, car la masse ne coupe pas l'axe, et la constante G n'est pas nulle. On pourra ecrire (5) sous la forme
sji-^y- 2 J bJ
y' est toujours du signe contraire de pour la demi-section de
l'anneau situee dans le premier quadrant, la seule qu'il soit necessaire de considerer. On aura
dy k^x^-h Aa:2+ B
dx
\Jx*- — ( A'2 xK -+• A # 2 -b B )2 \]x 2 — <!/2 ( x )
En remplagant x2 : a- par t, comme dans le premier cas, y sera donne par une integrate hyperelliptique, au lieu d'une integrate
