CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE, ETC. 3 1 I

elliptique. La solution complete directe est impossible, mais les developpements en series et des calculs theoriques, analogues a ceux qui ont ete fails dans le premier cas, permettent de determiner complelement revolution de la forme des figures d'equilibre et de leur grandeur.

Soient a et a' les deux rayons equatoriaux des cerclcs exterieurs et interieurs de l anneau. Pour x = a on a y ' — — oo et pour x = a' on a j'= + oo. La formule (4i) donne alors les deux relations

.{3 ) a — k- ak -t- A a2 H--B, — a' == k- a'1 -h A a'2 -+- B.

Ges deux formules determinent A et B en fonction de a et a' . Le trinome bicarre de (40 est done positif et egal a a pour x == a et negatif, egal a — a pour x = a . Done y' ne s'annule qu'une fois entreaet a . La section de l'annean n'a qu'une tangente parallele an plan de Fanneau et ou y et l'epaisseur de cet anneau sont maximums. C'est la plus grande des deux racines de <^(#), qui est entre a el a'. Pour a' tres petit, B est tres petit egalement, tend vers a . C'est la figure voisine du cas precedent ou Ton avait B = o, b = o, h = 2,32.

423. Les formules des figures annulaires sont generales et comprennent les figures non annulaires comme cas particulier. — Dans l'experience de Plateau, il j avait un axe materiel de rotation, qui elait mouille par le liquide. Par consequent la masse liquide formait un anneau autour de cet axe de rayon a' et ce sont les Equations (40 et (42) qu'il faudrait appliquer en toute rigueur. Le long de l'axe materiel, pour x — d^ on auraity'= — oo et la seconde des equations (43) aurait -j- a' au premier membre.

Comme le liquide mouille l'axe de rotation, la tangente a la courbe croit brusquement au voisinage, et devient infinie, alors que dans le premier cas traite plus haut, masse sans axe materiel, cette tangente etait nnlle. Mais comme, dans l'experience de Plateau, l'axe avait un rayon a' tres petit, les developpements en serie montrent qu'au voisinage de cet axe les valeurs de y, ordonnee de la#courbe meridienne, sont Ires rapidement les memes que ct ile- du c.is ou l'axe materiel n'existerait pas. Les calculs fails prEcedemment restent done strictement applicables a l'experience

3l2 FIGURES D'EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

de Plateau pour les figures de la masse, avant la formation des anneaux.

Dans le cas d'un axe de rotation materiel a rayon a tres petit on peut supposer aussi que le liquide ne mouille pas l'axe. Le liquide se creuse autour de l'axe et la tangente y prend une valeur y =z-\-oo comme pour un anneau. On a exactement les memcs formules (43) pour delinir A et B. On voit egalement. d'apres la valeur (45) de B, que si le rayon a' de l'axe de rotation est nul ou negligeable il en est de meme de B. Les formules du probleme precedent ne sont done qu'un cas particulier des formules des figures annulaires, ou la constante d'integration B est nulle ou negligeable. L'interet de ce cas particulier est que ses formules sontcompletementintegrables par lesfonctions elliptiques.

Nous verrons que les figures calculees dans le cas des anneaux. par developpements en series, se raccordent exactement dans toutes leurs valeurs, pour a — o, avec celles du cas precedent, au moment de la formation de l'anneau pour k — 2,32.

Nous verrons egalement que toutes les relations demontrees dans le premier cas s'etendent aux anneaux, avec cette remarque qu'il y aura ici, outre le parametre h, un second parametre variable a', ou plutot pour determiner la forme des figures. Dans le premier cas, il etait constamment nul, dans les anneaux le rapport des deux rayons varie de o a i .

124. A chaque valeur du rapport des deux rayons de l'anneau correspondent des figures d'equilibre, qui sont toutes semblablfcs entre elles. — La premiere des formules (43) peut s'ecrire

Le parametre h est le meme que dans le premier cas. Toutes les autres quantites pourront s'exprimer de meme en fonction de h et leur variation ne dependra que de celle de h. On tire B des deux equations, et Ton a

Aa et i ne dependent que du rapport ^ et de li.